ALGEBRA 1 - Estensioni di Campi: Grado, Elementi Algebrici e Trascendenti - Lezione 74

In questa videolezione di Algebra 1, introduciamo il concetto di estensione di campi, un argomento fondamentale per comprendere la struttura degli insiemi numerici e le radici dei polinomi.
Argomenti trattati nel video:
• Definizione formale di ampliamento (o estensione) di un campo K su F.
• Il grado di un'estensione [K:F] come dimensione dello spazio vettoriale.
• Il Lemma della Torre (formula dei gradi) e i suoi importanti corollari sulla divisibilità dei gradi e sui campi intermedi.
• La distinzione cruciale tra elementi algebrici ed elementi trascendenti su un campo base.
• Esempi concreti per chiarire la teoria, come le estensioni C/R e R/Q e l'analisi di elementi come √2 e il numero e.

Questa lezione è pensata per studenti del corso di laurea in Matematica che preparano l'esame di Algebra (Algebra 1 o Algebra 2 o Algebra A o Algebra B). L'obiettivo è presentare i concetti in modo rigoroso e chiaro, ponendo le fondamenta per lo studio del polinomio minimo e delle estensioni semplici che affronteremo nei prossimi video.

0:00 Intro
0:05 Estensione di un campo
2:24 Grado di un'estensione
3:49 Lemma della torre
4:16 Corollari
6:35 Elementi algebrici o trascendenti
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