Teorema di Millman. Calcolo della Tensione tra i Nodi comuni di una Ramificazione Circuitale

TENSIONE TRA NODI. TEOREMA DI MILLMAN
Il Teorema di Millman consente di calcolare Tensione sussistente tra due Nodi (comuni a tutti i Rami in Parallelo) in un Circuito Elettrico ramificato. Esso fornisce, cioè, il valore di Tensione tra i Nodi (A e B) che definiscono la ramificazione: il Nodo A, da cui la ramificazione inizia, e il Nodo B, in cui la ramificazione termina. Tensione che risulterà positiva se il Morsetto/Polo Positivo del Generatore è rivolto verso il nodo A, negativa se rivolto verso il Nodo B.
Il Teorema di Millman stabilisce che, in un Circuito Elettrico ramificato (con Resistori collegati esclusivamente in parallelo), la f.e.m. (identica in ogni punto del circuito) che sostiene la Corrente risulta dal rapporto tra la Corrente Circuitale e la Conduttanza Circuitale: V(AB)=i/Λ=Σₖ(Vₖ/Rₖ)/Σₖ1/Rₖ⇒Ampere/Siemens⇒Volt. D'altronde, il termine Σₖ1/Rₖ corrisponde a 1/Rₑ, che corrisponde alla Conduttanza Λ. Questa relazione implica che, in generale, più un Circuito Elettrico è conduttivo e minore sarà (a parità di Corrente Elettrica) la f.e.m. necessaria a sostenere la Corrente stessa; inoltre, più un Circuito Elettrico è resistivo e minore sarà (a parità di Corrente Elettrica) la f.em. necessaria a sostenere la Corrente stessa.

Infatti, considerando un generico circuito a Tensione complessiva risultante V e costituito da n Rami in parallelo con i Nodi A e B in comune tra gli n Rami, la Tensione tra il Nodo A e il Nodo B (equivalente alla Tensione complessiva) risulterà dalla Cortocircuitazione tra A e B, cioè dal rapporto tra l'Intensità della Corrente complessiva e la Resistenza Equivalente del Circuito: V(AB)=ΣⱼEⱼ-ΣₖVₖ=i·Rₑ=(Σₖiₖ)·Rₑ=Σₖ(Vₖ/Rₖ)/Σₖ1/Rₖ=Σₖ(Vₖ/Rₖ)/(1/R₁+...+1/Rₖ+...1/Rₙ)=i/(1/Rₑ)=i/Λ⇒V.
Tale relazione è dimostrabile a partire dal calcolo dell'Intensità della Corrente Elettrica in un generico, k-esimo, Ramo: iₖ=[Vₖ-V(AB)]/Rₖ, per poi considerare che la Corrente entrante nel Nodo A è la stessa Corrente uscente dallo stesso Nodo A, ovvero che la sommatoria delle Correnti entrante nel Nodo A è uguale alla sommatoria delle Correnti uscenti dal Nodo A, per la LKC (Legge di Kirchoff delle Correnti); ovvero che la sommatoria di tutte le Correnti è nulla: Σₖ[Vₖ-V(AB)]/Rₖ=0. Da cui ΣₖVₖ/Rₖ-ΣₖV(AB)/Rₖ=0. Da cui ΣₖVₖ/Rₖ=ΣₖV(AB)/Rₖ. Da cui ΣₖVₖ/Rₖ=V(AB)·Σₖ1/Rₖ e, infine, V(AB)=Σₖ(Vₖ/Rₖ)/Σₖ1/Rₖ⇒V.
#fisica #elettrodinamica #elettrostatica
00:00 Introduzione
00:18 Teorema di Millman
01:42 Dimostrazione del Teorema di Millman
07:42 Dimostrazione