【灘高入試】代数計算の最高峰。あなたは最後まで計算ミスせずに辿り着けるか？

【灘高校 2003年度 数学入試問題】
灘高校の入試問題から、文字式の値を求める代数計算を解説します。 一見すると計算量が膨大に見える問題ですが、式の対称性に注目し、因数分解を駆使することで、驚くほど整然と解き進めることが可能です。

本動画では、単なる計算手順だけでなく、 「なぜその変形を行うのか」という数学的な思考プロセスを重視して解説いたします。 受験生の方はもちろん、数学を学び直したい大人の方も、ぜひ紙とペンを用意して挑戦してみてください。

【問題】
x = √3 + √6 - 1/√3 - 1/√6
y = -√3 + √6 + 1/√3 - 1/√6
のとき、
x^3(2y - 1) + x^2y + xy^2(1 - 2y) - y^3
の値を求めよ。


【問題の解法】
求める式の因数分解
まず、求める式を整理します。 x^3(2y - 1) + x^2y + xy^2(1 - 2y) - y^3 = 2x^3y - x^3 + x^2y + xy^2 - 2xy^3 - y^3

これを項の組み合わせによって整理します。
= (2x^3y - 2xy^3) - (x^3 - x^2y - xy^2 + y^3) = 2xy(x^2 - y^2) - {x^2(x - y) - y^2(x - y)} = 2xy(x - y)(x + y) - (x - y)(x^2 - y^2) = 2xy(x - y)(x + y) - (x - y)(x - y)(x + y) = (x - y)(x + y) {2xy - (x - y)}

x と y の値の整理 与えられた条件式は、共通する項が多いことに注目します。
x + y = 2√6 - 2/√6 = 2√6 - √6/3 = 5√6/3
x - y = 2√3 - 2/√3 = 2√3 - 2√3/3 = 4√3/3

積 xy の計算
x = (√6 - 1/√6) + (√3 - 1/√3) y = (√6 - 1/√6) - (√3 - 1/√3) と置けるため、和と差の積（A^2 - B^2）の形になります。 xy = (√6 - 1/√6)^2 - (√3 - 1/√3)^2 = (6 - 2 + 1/6) - (3 - 2 + 1/3) = (4 + 1/6) - (1 + 1/3) = 25/6 - 4/3 = (25 - 8) / 6 = 17/6

最終計算
(x + y)(x - y) = (5√6/3) * (4√3/3) = 20√18 / 9 = 60√2 / 9 = 20√2 / 3

これらを手順1の式に代入します。
20√2/3 * {2 * 17/6 - 4√3/3} = 20√2/3 * {17/3 - 4√3/3} = 20√2(17 - 4√3) / 9 = (340√2 - 80√6) / 9

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