SUBESPAÇOS VETORIAIS

Como encontrar a condição algébrica de um subespaço a partir dos seus geradores — passo a passo

Olá, pessoal! Seja bem-vindo ao Bote Fé na Matemática. Neste vídeo curto e direto, eu, Professor Adriano Medeiros, mostro como determinar — a partir dos geradores de um subespaço vetorial — a condição algébrica que garante que um vetor pertence a esse subespaço.

Por que isso importa?
Para calcular a interseção de dois subespaços (ou verificar se a soma é direta) precisamos saber testar, algebricamente, quando um vetor faz parte do span gerado por certos vetores.

O método apresentado

Assumimos que o vetor
v=(x,y,z) é combinação linear dos geradores (com escalares 𝑎, 𝑏).

Montamos o sistema linear pelas coordenadas em função desses escalares.

Construímos a matriz ampliada do sistema (coeficientes dos escalares + coluna (x,y,z)).

Escalonamos (forma escada) a parte dos coeficientes para eliminar abaixo dos pivôs.

A condição algébrica final é a equação que aparece na linha em que os coeficientes dos escalares zeram — uma relação entre x,y,z.

Desafio:
No final do vídeo deixo um exercício: encontre a condição algébrica para que um vetor esteja no subespaço S. Deixe sua resposta nos comentários!

Recursos:
• Notas de aula completas e materiais — visite: www.botefenamatematica.com.br

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• Base para subespaço vetorial:    • COMO ACHAR UMA BASE PARA UM SUBESPAÇO VETO...  

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#ÁlgebraLinear #Subespaço #Span #Interseção #SomaDireta #Matemática

Description (English)

How to find the algebraic condition of a subspace from its generators — step by step

Welcome to Bote Fé na Matemática. In this short, practical video I (Professor Adriano Medeiros) show how to determine — from the generators of a vector subspace — the algebraic condition that characterizes when a vector belongs to that subspace.

Why it matters
When computing the intersection of two subspaces (or checking whether their sum is direct), you must be able to test subspace membership algebraically.

Method overview

Assume a vector
v=(x,y,z) is a linear combination of the generators (scalars 𝑎, 𝑏)

Form the linear system from coordinates in terms of these scalars.

Build the augmented matrix (coefficients + column (x,y,z)).

Row-reduce the coefficient part to row echelon form.

The final algebraic condition appears as the equation from the row where the scalars’ coefficients vanish — a relation among x,y,z.

Challenge: try the exercise shown and post your answer in the comments!

Resources:
• Full class notes and materials: www.botefenamatematica.com.br

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