Disuguaglianze Olimpiche: derivate parziali vs AM-GM

In questo video risolveremo un problema di massimizzazione in due modi diversi. Il primo emula una procedura tipica di analisi 2, ovvero la ricerca dei punti critici interni al dominio considerato, mentre il secondo utilizza semplicemente metodi olimpici, mostrando che, talvolta, un po' di ingegno batte la conoscenza di tecniche avanzate.

Correzione: al minuto 4:35 non cambia la derivata ma la convessità.

Precisazioni sul primo metodo. Per funzioni differenziabili nei punti interni del dominio considerato, vale il teorema di Fermat anche per funzioni a più variabili. Questo teorema dice che un punto di ottimo è necessariamente un punto critico, ovvero che il gradiente (cioè le due derivate parziali) devono essere uguali a zero. Pertanto, dopo aver trovato i punti critici, occorre verificare quali siano all'interno del dominio, e poi giustificare che questi punti critici siano effettivamente punti di minimo. Normalmente bisognerebbe effettuare lo studio delle derivate seconde, in modo da conoscere più nello specifico il comportamento locale della funzione intorno a quel punto (che si rivela convessa). In questo caso, tuttavia, non è necessario, perché è sufficiente un'analisi qualitativa delle curve di livello, unita alla continuità della funzione, per concludere che un minimo locale deve esistere (perché la funzione è positiva negli estremi del domino e negativa per alcuni punti interni al dominio) e deve essere punto interno del dominio. Questo è sufficiente per concludere che il punto critico trovato è punto di minimo.

Fonti che consiglio per studiare disuguaglianze:
The OTIS Excerpts, Evan Chen
Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach, Radmila Bulajich Manfrino
YouTube, c'è molto materiale in inglese
registrazioni dei precedenti Stage Senior di Pisa
test di ammissione agli stage Senior

00:00 - Primo metodo: ricerca dei punti critici
3:15 - perché trovare i punti critici non è sufficiente
7:08 - Secondo metodo: AM-GM pesata
8:24 - Il minimo è una quantità negativa
9:52 - AM-GM pesata