Exercice corrigé N:1 : Résolution d’un système d’équations linéaires à l’aide du pivot de Gauss.

INTRODUCTION:
Dans cette vidéo, nous allons explorer la méthode de pivot de Gauss, une technique fondamentale en algèbre linéaire utilisée pour résoudre des systèmes d’équations linéaires.

Définition:
Le pivot de Gauss est une méthode qui permet de simplifier un système d’équations linéaires en le transformant en un système équivalent plus simple à résoudre. Cette simplification est réalisée en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice associée au système.

Méthode du pivot de Gauss.
Voici la méthode du pivot de Gauss :

Sélectionner une ligne dont la première colonne est non nulle. Cet élément est appelé « pivot ». Par défaut, on prendra la première ligne
Échanger les lignes si nécessaire pour placer le pivot en haut de la colonne.
Utiliser des opérations élémentaires pour obtenir des zéros en dessous du pivot.
Répéter le processus pour les sous-matrices restantes.
Continuer jusqu’à ce que la matrice soit sous forme échelonnée.

Propriété fondamentale:
La méthode du pivot de Gauss ne modifie pas la solution du système d’équations.
METHODE:
Considérons le système d’équations:
Étape 1 : Écriture matricielle
Nous pouvons représenter ce système sous forme matricielle AX = B
Étape 2 : Choix du pivot
Nous choisissons le premier élément de la première colonne (1) comme pivot.
Étape 3 : Opérations élémentaires pour obtenir des zéros en dessous du pivot
Nous souhaitons obtenir des zéros en dessous du pivot dans la première colonne. Pour ce faire, par exemple:
Soustrayez 2 fois la première ligne à la deuxième ligne.
Soustrayez la première ligne de la troisième ligne.
Étape 4 : Répétition du processus pour les sous-matrices restantes
Nous répétons le processus pour la sous-matrice 2×2 restante. Le pivot est maintenant -1 (deuxième ligne, deuxième colonne). Pour obtenir un zéro en dessous de ce pivot, nous ajoutons la deuxième ligne à la troisième ligne.
Étape 5 : Résolution du système
À partir de la forme échelonnée de la matrice, nous pouvons résoudre le système d’équations.
Cet exemple montre comment utiliser la méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système d’équations linéaires. Dans ce cas, le système a une solution, mais la méthode est applicable à de nombreux autres systèmes qui peuvent ne pas avoir de solution ou une infinité de solutions.