Показатели Ляпунова и чувствительная зависимость от начальных условий

Одним из признаков хаоса является чувствительная зависимость от начальных условий, количественно определяемая с помощью показателей Ляпунова, которые измеряют экспоненциальную расходимость соседних траекторий в фазовом пространстве. Положительный показатель Ляпунова является диагностическим признаком хаоса (но следует соблюдать осторожность).

Когда показатель Ляпунова у системы положительный, существует временной горизонт, за пределами которого прогнозирование становится невозможным, называемый ляпуновским временем. В качестве примера рассмотрим погоду.

► Далее, рабочие определения «хаоса» и «аттрактора»
   • Chaotic Attractors: a Working Definition o...  

► Уравнения Лоренца
Вывод и хаотическое водяное колесо    • 3D Systems, Lorenz Equations Derived, Chao...  
Сокращение объёма и симметрия    • Lorenz Equations Properties: Volume Contra...  
Анализ неподвижных точек    • Lorenz Equations Fixed Point Analysis  
Вывод аттрактора Лоренца    • Lorenz Attractor- How It Was Found  

► Дополнительные сведения
Бифуркации вил неподвижных точек    • Bifurcations Part 3- Pitchfork Bifurcation  
Бифуркации Хопфа, неустойчивые предельные циклы    • Bifurcations in 2D, Part 2: Hopf Bifurcati...  
Квазипериодическое движение на торе    • Coupled Oscillators, Quasiperiodicity, Syn...  
Захват область Пуанкаре-Бендиксона    • Limit Cycles, Part 3: Poincare-Bendixson W...  

► Продвинутая лекция о центральном многообразии начала координат в системе Лоренца
   • Center Manifolds Depending on Parameters- ...  

► Из курса «Нелинейная динамика и хаос» (онлайн-курс).
Плейлист: https://is.gd/NonlinearDynamics

► Д-р Шейн Росс, хаотик, профессор Вирджинского политехнического института (доктор философии Калифорнийского технологического института)
Подписаться: https://is.gd/RossLabSubscribe​

► Подпишитесь на меня в Твиттере:   / rossdynamicslab  

► Конспект лекций курса (PDF)
https://is.gd/NonlinearDynamicsNotes

Ссылки:
Стивен Строгац, «Нелинейная динамика и хаос», Глава 9: Уравнения Лоренца

► Курсы и плейлисты д-ра Росса

📚 Динамика и управление положением
https://is.gd/SpaceVehicleDynamics

📚 Нелинейная динамика и Хаос
https://is.gd/NonlinearDynamics

📚Гамильтонова динамика
https://is.gd/AdvancedDynamics

📚Задача трёх тел Орбитальная механика
https://is.gd/SpaceManifolds

📚Лагранжева и трёхмерная динамика твёрдого тела
https://is.gd/AnalyticalDynamics

📚Центральные многообразия, нормальные формы и бифуркации
https://is.gd/CenterManifolds

Наибольший показатель Ляпунова Фрактальная размерность аттрактора Лоренца Измерение с подсчётом ящиков Смятая бумага Устойчивый фокус Неустойчивый фокус Сверхкритический субкритический топологическая эквивалентность Генетический переключатель Структурная устойчивость Андронова-Хопфа Андронова-Пуанкаре-Хопфа Метод малых эпсилон нескольких масштабов Двухвременной осциллятор Ван дер Поля Осциллятор Дуффинга, нелинейные осцилляторы, нелинейные колебания, нервные клетки, управляемый ток, нелинейная цепь, гликолиз, биологические химические колебания, градиентные системы Ляпунова, теория индекса Конли, градиентная система, автономная на плоскости, фазовая плоскость, двумерные обыкновенные дифференциальные уравнения, цилиндрическая бифуркация, устойчивость, хрупкость, касп, развертывание, возмущения, структурная устойчивость, возникновение, критическая точка, критическое замедление, сверхкритическая бифуркация, докритические бифуркации, выпучивание, модель балки, изменение устойчивости, нелинейная динамика, динамические системы, дифференциальные уравнения, измерения, фазовое пространство, графический метод Пуанкаре, Строгаца, неподвижная точка, равновесие, устойчивость, устойчивая точка, неустойчивая точка, линейный анализ устойчивости, векторное поле, двумерные двумерные функции, гамильтониан, гамильтоновские линии тока, погода, вихревая динамика, точечные вихри, топология, осцилляторы Ферхюльста, синхрония, друзья по тору на треке, гонщик, динамика на торе, уравнения Лоренца, хаотический, странный аттрактор, конвекция, хаос, хаотический

#НелинейнаяДинамика #ДинамическиеСистемы #ЭкспонентаЛяпунова #Ляпунов #АттракторЛоренца #хаос #Осцилляторы #Синхронность #Тор #Бифуркация #Хопф #БифуркацияХопфа #НелинейныеОсцилляторы #ТеорияУсреднения #ПредельныйЦикл #Осцилляции #Нульклини #ОсцилляцииРелаксации #ВанДерПоль #ОсцилляторВанДерПоля #ПредельныеЦиклы #ВекторныеПоля #топология #геометрия #ТеорияИндекса #СохранениеЭнергии #Гамильтониан #ФункцияТока #ЛинииТока #Вихрь #СкошенныйГрадиент #Градиент #БиологияПопуляций #НеподвижнаяТочка #ДифференциальныеУравнения #СедлоУзел #СобственныеЗначения #ГиперболическиеТочки #НегиперболическаяТочка #БифуркацияКаспа #КритическаяТочка #Выпучивание #БифуркацияВил #Устойчивый #СтруктурнаяУстойчивость #ДифференциальныеУравнения #динамика #измерения #ФазовоеПространство #ФазовыйПортрет #ФазоваяПлоскость #Пуанкаре #Строгац #Виггинс #Лоренц #ВекторноеПоле #ГрафическийМетод #НеподвижныеТочки #ТочкиРавновесия #Устойчивость #НелинейныеОДУ #УстойчиваяТочка #НеустойчиваяТочка #Устойчивость #ЛинейнаяУстойчивость #АнализЛинейнойУстойчивости #АнализУстойчивости #ВекторноеПоле #Двумерные #Функции #РостНаселения #ДинамикаНаселения #Население #Логистика #ГрадиентнаяСистема #Градие...