Übergangsmatrizen (4): stationäre/stabile Verteilung berechnen | Austauschprozesse

Wie man die stationäre Verteilung (Grenzverteilung; Fixvektor) bei Austausch-Prozessen bestimmt. Schritt für Schritt erklärt.

Eine stochastische Übergangsmatrix (quadratisch und Spaltensumme gleich 1) hat die Eigenschaft, dass Verteilungen, auf die diese Matrizen angewandt werden, langfristig einer stabilen Verteilung entgegenstreben.
In diesem Video wird

(01:36) zunächst dieses Zulaufen auf eine Grenzverteilung an einem Beispiel demonstriert.
(02:50) gezeigt, wie man grob eine Grenzverteilung abschätzen kann, in der man in die Gleichung M^n*Vektor(Startverteilung)=Vektor(n-te Verteilung) hohe und höhere Werte für n einsetzt, um zu gucken, ob die Grenzverteilung schon erreicht ist.
(03:38) Schritt für Schritt-Methode die wichtige Methode zur exakten Berechnung der Grenzverteilung gezeigt. Diese Methode umfasst:
(03:50) das Aufstellen des Ansatzes M*Fixvektor=Fixvektor
(04:48) Umschreiben in in ein Lineares LGS
(05:21) "Rüberbringen" der Rechten Seite nach Links, so dass rechts nur Nullen stehen. Auf der Diagonalen vermindern sich die Koeffizienten der Unbekannten dann immer um 1. So erhält man ein homogenes LGS, welches aber unendlich viele Lösungen hat.
(07:45) Wann fügt eine Zeile an: x1+x2+x3 = Gesamtzahl der Austausch-Objekte
Man löst das LGS (evtl. muss man einen Taschenrechner-Trick (08:26) anwenden)
(08:58) und erhält so die Stabile Verteilung.
(09:50 wenn man die Gesamtzahl der Austauschobjekte gleich 100 setzt, erhält man die Stabile Verteilung als prozentuale Angabe.


Alle Videos dieser Serie über Übergangsmatrizen/Austauschprozesse:
1. Übergangsgraph und Übergangsmatrix aufstellen:    • Übergangsmatrizen (1): Übergangsgraph und ...  
2. nächste Verteilung(en) berechnen: dieses Video
3. vorherige Verteilung(en) berechnen:    • Übergangsmatrizen (3): vorherige Verteilun...  
4. stabile Verteilung/Grenzverteilung/Fixvektor berechnen:    • Übergangsmatrizen (4): stationäre/stabile ...  
5. Grenzmatrix bestimmen:    • Übergangsmatrizen (5): Grenzmatrix bestimmen  

in der Playliste Matrizenrechnung findest du alle Videos zur Matrizenrechnung:
   • Matrizenrechnung  
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