DERIVADAS: TAXAS RELACIONADAS | PROBLEMA DA ESCADA

Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3 m da parede?

00:00 Identificando as Variáveis do Problema
No problema em questão, temos que x = 3 m (distância da base da escada até a parede) e seu sentido está da esquerda para a direita. E que a taxa de 1 m/s corresponde a taxa segundo o qual x afasta-se da parede conforme a escada desliza sobre ela, portanto, dx/dt = 1 m/s.
Observe que a escada apoiada na parede forma um triângulo retângulo, e isso nos remete ao Teorema de Pitágoras, que deverá ser aplicado para se determinar y, uma vez que conhecemos um de seus catetos (x = 3 m) e a hipotenusa (comprimento da escada = 5 m). Note que o sentido de y está de cima para baixo.

03:10 Encontrando a Equação Envolvida e sua Derivada
O próximo passo na resolução é encontrarmos uma equação que envolva as variáveis x e y. E essa equação, obviamente, é a fórmula do Teorema de Pitágoras, usada anteriormente para encontrar y.
Reescreva a fórmula do Teorema de Pitágoras sem substituir os valores de x e y:
5² = x² + y²
Ao se derivar essa fórmula em função do tempo t, obteremos as outras variáveis que correspondem as taxas que estavam faltando, portanto:
x.dx/dt + y.dy/dt = 0.

05:10 Determinando a Taxa dy/dt
Muito bem, agora é só isolar dy/dt na equação e substituir os valores de x, y e dx/dt, para se obter a que taxa a escada desliza quando a base da mesma está a 3 m da parede.

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⭐ FONTE DO EXERCÍCIO:
Cálculo Volume 1 - 7ª Ed. (James Stewart)

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