自然数の定義

現代数学に現れる多くの概念は，集合を用いて定義されます．「自然数」のような非常に基本的な概念でさえ例外ではありません．

この動画では，Zermeloによる集合を使った自然数の定義と，Peanoによる自然数上の足し算，掛け算の定義を与えます．

このように，集合を用いて自然数を定義することで，「1＋1＝2」のような一見どうやって証明すればよいかわからないほど基本的な命題にも証明を与えることができます．

（なお，この動画では0も自然数に含める立場をとりましたが，0は自然数に含めない流儀もあります．また，集合を使って自然数を定義する方法には，他にvon Neumannによるものも知られています．von Neumannによる定義は一般の順序数（「無限に大きい」数）への拡張ができるという利点がありますが，この動画では簡潔さを重視してZermeloによる定義を紹介しました．）

#数学 #集合 #自然数 #数学基礎論

Q & A

Q1. 例えば S(SSZ + SZ) は，（掛け算のように）分配律を使って SSSZ + SSZ と変形できますか？

A1. そのような変形はできません．S は操作なので，S(SSZ + SZ) は「SSZ + SZ に操作 S を適用する」ことを意味します．
「操作」は「関数」と同じような振る舞いをします．
S は関数 f(x) = x + 1 と思ってもよいですが，この記法を使うと，f(2+1) を f(2) + f(1) に変形するようなことはできないことがより直観的に納得していただけるかもしれません．
（実際，f(2+1) は 4 ですが，f(2) + f(1) は 5 となります．）