Teorema de Ceva - Problemas Resueltos de Proporcionalidad Geométrica

Teorema de Ceva:
“Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinar sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos y considerandos en forma no consecutiva, es igual al producto de los tres restantes”
debes saber que:
Si en un problema dado se mencionan tres cevianas concurrentes entonces, es probable que su solución sea a partir del teorema de Ceva.
El teorema recíproco al de Ceva es igualmente válido, es decir: “Si sobre los lados , y de una ABC (ver figura) se consideran los puntos M, N y L respectivamente, de modo que:
AM . BN . CL = MB . NC . AL, entonces las cevianas , y serán concurrentes”
Haz armónico
Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos colineales y consecutivos formando una cuaterna armónica.
En la figura si los puntos A, B, C y D forman una cuaterna armónica, entonces las rectas , , y forman un haz armónico.
En el punto O se llama Centro del haz y las rectas y se dice que son conjugados armónicos respecto a las rectas y y vicerversa.
Corolario:
“En todo triángulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo vértice determinando un haz armónico”.
Sean y bisetrices interior y exterior respectivamente del ABC.
Luego los lados y y las bisectrices y forman un haz armónico.
Para demostrarlo, bastará demostrar que los puntos A, D, D y E forman una cuaterna armónica y esto ocurrirá si y sólo si: