أينشتاين مصر (11) || شرح ال Discrete Math - Mathematical Induction

الاستقراء الرياضي (بالإنجليزية: Mathematical induction)‏ هو أحد أنواع البرهان الرياضي تستخدم عادة لبرهنة أنّ معادلة أو متباينة ما صحيحة لمجموعة لانهائية من الأعداد، كالأعداد الصحيحة. يعتمد البرهان على مبدأ وقوع أحجار الدومينو، ويتم على مرحلتين: في الأولى، يبرهن أنّ أوّل رقم في المجموعة يحقّق المطلوب، وفي الثانية نفرض أنّ المطلوب يتحقّق لعدد ما من المجموعة، ونبرهن، جبريًا، مثلاً، أنّه يتحقّق أيضًا للعدد الذي يليه في المجموعة استنادًا على الفرض وعلى الأساس.
ربما كانت محاورة أفلاطون سنة 370 قبل الميلاد قد حوت أول إثبات بالاستقراء الرياضي على الإطلاق. يمكن ملاحظة اثارالاستقراء الرياضي المبكرة في إثبات إقليدس بأن عدد الأعداد الأولية لانهائي. كما أن أول إثبات ضمني بالاستقراء الرياضي للمتوالية الحسابية كان على يد العربي البغدادي الكرخي حوالي سنة 1000 ميلادية، والذي استخدمها لإثبات نظرية ذات الحدين، مثلث باسكال، وصيغة المجموع لتكامل المكعبات. كان إثباته هو الأول الذي استخدم المبدأين الأساسيين في الإثبات الاستقرائي, "وهما صواب التعبير من أجل n = 1 (لاحظ أن 1=13) واشتقاق الصواب من أجل n = k من تلك لقيمة n = k − 1. بالطبع الجزء الثاني غير نقدي لأنه بشكل أو باخر حجة الكراجي معكوسة; من هنا يبدأ الكراكي لـn = 10 ومن ثم النزول حتى 1 بدلا من الاستمرار". ومن بعده مباشرة جاء الحسن ابن الهيثم لإثبات مجموع قوى الدرجة الرابعة بطريقة الاستقراء. لقد قام بإثبات ذلك على أعداد صحيحة معينه فقط ولكن إثباته لهذه الأعداد كان بالاستقراء وشاملا. كما أن السموأل بن يحيى بن عباس كان أقرب إلى الإثبات الحديث بالاستقراء الرياضي عندما استخدمه في توسيع إثبات مثلث باسكال وذات الحدين.
--------------------------------------------------------------------------
Strong induction is a variant of induction, in which we assume that the statement holds for all values preceding kk. This provides us with more information to use when trying to prove the statement.
Now that we know how standard induction works, it's time to look at a variant of it, strong induction. In many ways, strong induction is similar to normal induction. There is, however, a difference in the inductive hypothesis. Normally, when using induction, we assume that P(k)P(k) is true to prove P(k+1)P(k+1). In strong induction, we assume that all of P(1), P(2), . . . , P(k)P(1),P(2),...,P(k) are true to prove P(k + 1)P(k+1).

Why would we need to do that? Let's go back to our domino analogy. Say that you have infinitely many dominoes arranged in a line. But this time, the weight of the k^\text{th}k
th
domino isn't enough to knock down the (k+1)^\text{th}(k+1)
th
domino. Knocking down the (k+1)^\text{th}(k+1)
th
domino requires the weight of all the dominoes before it. Even now, if you are able to knock down the first domino, you can prove that all the dominoes will eventually fall.

The reason why this is called "strong induction" is that we use more statements in the inductive hypothesis. Let's write what we've learned till now a bit more formally.
----------------------------------------
#Mathematical_Induction
#Induction
#Strong_Induction
---------------------------------------------
بطريقة سهلة جدا وهذا هو الفيديو الحادي عشر من سلسة شرح الهياكل المتقعة علي القناة
-------------------------------------------------------------
لمتابعة سلسة شرح الهياكل المتقطعة Discrete Math كاملة
من رابط قائمة التشغيل :    • أينشتاين مصر || Discrete Mathematics(CS201...  
----------------------------------------------------------------------------------------------
╔═.♥. ════════════════════════════════════╗

ＳＵＢＳＣＲＩＢＥ | ＬＩＫＥ | ＣＯＭＭＥＮＴ | ＳＨＡＲＥ |

► Subscribe إشترك ✔

   / @einshtenmisr  

لاتنسوا الاشتـــــــراك في القنــــاة ✔ ولايـك للفيديو ✔

مشاهدة طيبة أعزائي الكرام

╚══════.♥. ═════════════════════════
#أينشتاين_مصر
#Einshten_Mahmoud_Alyosify
  / mahmoudalyosify  
  / mahmoudalyosify  
G-email:[email protected]
Yahoo :[email protected]