Verkettete Exponentialfunktionen || Kurvendiskussion ★ Abitur Aufgabe

Vorwissen: Ketten-, Produkt- und Quotientenregel
Übung 1: Geben Sie jeweils die Verkettung f(x) = u(v(x)) an und bestimmen Sie die erste Ableitungsfunktion f‘(x).
Übung 2: Wenden Sie die Produktregel an, um f‘(x) zu berechnen. Möglicherweise wird auch zusätz-lich die Kettenregel benötigt.

Übung 3: Wenden Sie die Quotiententregel an, um f‘(x) zu berechnen.

Situation: Mit dem Modell des Produktlebenszyklusses lässt sich der jährliche Absatz bzw. Um-satz eines Produkts von der Markteinführung über die Wachstums- und Reifephase zur Sättigungs-phase und schließlich zur Degenerationsphase abbilden. Dabei eignet sich eine Modellierung mit e-Funktion.
Auch die Marke ‚Facebook‘ (Einführung: Februar 2004) lässt sich als Produktlebenszyklus darstellen. Experten gehen davon aus, dass sich der Umsatz u in Mrd. $ abhängig von der Zeit t in Jahren durch die Funktion u(t) beschreiben lässt.
a) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von u(t) bestmöglich in das Koordinatensystem auf der nächsten Seite. Die Zeichnung soll im Intervall [-10; 70] vorgenommen sowie die Achsen be-schriftet werden. Der Teil des Graphen, der nicht zum Dök gehört wird gestrichelt gezeichnet.
b) Führen Sie eine vollständige Funktionsanalyse zum hier gegebenen Produktlebenszyklus durch. Die folgenden Aspekte sollten dabei untersucht werden: Definitionsbereich, Asymp-tote, Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Ableitungen, Extrempunkte, Monotonie, Wende-punkte, Krümmung, Wertebereich. Interpretieren Sie jedes Ergebnis aus anwendungsbezo-gen.
c) Übernehmen Sie alle Analyseergebnisse aus b) in die Grafik und unterteilen Sie das Koordi-natensystem inklusive Graphen in Phasen des Produktlebenszyklusses.
d) Seit dem Start hat Facebook die durchschnittlichen Preise in $ für Werbeeinblendungen (pro Stück) entsprechend der Funktion p(t) festgelegt. Ermitteln Sie die Absatzfunktion a(t). Denken Sie dabei daran, dass gilt: Umsatz = Absatz · Preis.
e) Zeichnen Sie p(t) und a(t) in die Grafik mit ein und machen Sie sich die Zusammenhänge deut-lich.
Übung:
In einem bestimmten Land herrscht Krieg und deshalb sind in der Vergangenheit viele Menschen aus diesem Land ins Ausland geflohen. Aktuell und in der näheren Zukunft fliehen weiterhin inlän-dische Menschen, aber Experten gehen von einem baldigen Ende des Kriegs aus und somit werden viele dieser Leute auch wieder zurückkehren. Die Funktion f(x) beschreibt das vergangene und zukünftige Verhalten der Flüchtlinge. Wir verstehen dabei x in Jahren, x = 0 ist der aktuelle Zeit-punkt, negative x-Werte stehen für vergangene und positive x-Werte für zukünftige Jahre. Die Funktionswerte ergeben sich in Millionen Menschen.
a) Fertigen Sie eine gute Skizze der Funktion f(x) an. Wählen Sie dabei die Skalierung der Ach-sen so, dass Sie mindestens zwei Jahre in die Vergangenheit und 8 Jahre in die Zukunft schauen können.
b) Ermitteln Sie Achsenschnittpunkte und Extrema. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
c) Ermitteln Sie mit Hilfe des GTRs, wann nach dem höchsten Flüchtlingsaufkommen die Aus-reisezahlen am stärksten rückläufig waren. Verwenden Sie dabei die Funktion ‚nDeriv‘.
d) Wie viele Menschen werden in einem halben Jahr und wie viele in zwei Jahren (netto) das Land verlassen? Vergleichen Sie auch die momentanen Änderungsraten zu diesen Zeit-punkten miteinander.
e) Beurteilen Sie die Gesamtsituation. Welche Folgen hat der Krieg für die Bevölkerungszahl. Welche Gründe sind dafür ausschlaggebend?

Was du jetzt kannst!
 Ich erkenne, wann ich die Ketten-, Produkt- und/oder Quotientenregel anwenden muss.
 Ich beherrsche die Anwendung der Ketten-, Produkt- bzw. Quotientenregel, auch bei e-Fkt.
 Ich kann eine vollständige rechnerische, grafische und anwendungsbezogene Funktionsanaly-se bei verketteten Exponentialfunktionen vornehmen. Dazu gehören: Definitionsbereich, Asymptote, Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Ableitungen, Extrempunkte, Monotonie, Wen-depunkte, Krümmung, Wertebereich.