Nullstellensatz von Bolzano mit Intervallhalbierung || StrandMathe || Oberstufe ★ Übung 1

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Nullstellensatz von Bolzano mit Intervallhalbierung

Der Nullstellensatz von Bolzano beschreibt, dass eine stetige Funktion f auf einem Intervall [a; b] mindestens eine Nullstelle hat, wenn die Funktionswerte f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben.
Die Intervallhalbierung ist ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, bei dem der Mittelwert m_n eines Intervalls [a_(n-1); b_(n-1)] gebildet und nach jedem Schritt n das Vorzeichen des Funktionswertes f(m_n) überprüft wird, sodass eine erneute Mittelwertbildung erfolgt.

Zeige, dass die Funktion f(x)=x^3-2x^2-1 eine Nullstelle auf dem Intervall [0;3] hat und bestimme diese auf eine Genauigkeit von einem Zehntel.
Da es sich bei f(x) um eine stetige Funktion handelt und f(0)=-1 und f(3)=20 (unterschiedliche Vorzeichen), muss aufgrund des Nullstellensatzes eine Nullstelle in dem Intervall vorliegen.
Diese bestimmt man näherungsweise, indem man immer wieder den Mittelwert eines Grenzintervalls bildet und so die Stelle eingrenzt. Der erste Mittelwert lautet:

Da der Funktionswert negativ ist, erfolgt die nächste Intervallhalbierung zwischen m_1=a_1 (negativer Funktionswert, Stelle links von der Nullstelle) und der oberen Grenze b_0=b_1 . Lass dich nicht davon irritieren, dass der Wert „negativer“ geworden ist als f(0)=-1. Dies ist dem Funktionsverlauf geschuldet (s. Abbildung).
Hier liegt ein positiver Funktionswert für den Mittelwert vor, der somit rechts von der Nullstelle liegt und die neue rechte Grenze b_2 des Intervalls [1,5; 2,25]. Als nächstes folgt:

Nun ist der Funktionswert des neuen Mittelwerts m_3 wieder negativ, sodass die untere Grenze angepasst wird.

Das Intervall lautet nun [2,16;2,25] und hat eine Breite von weniger als einem Zehntel. Somit ist die Nullstelle genau genug eingegrenzt. Je häufiger man die Intervallhalbierung durchführt, desto genauer kann man das Ergebnis eingrenzen. Die Folge (b_n-a_n) geht gegen Null und ist daher einer Nullfolge.
Trainer: „Es gibt verschiedene Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung. Meistens bietet es sich an, mit einer Tabellenkalkulation zu arbeiten.“

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