Dlaczego √2 jest nieskończony, skoro można go narysować?

W tym nagraniu odpowiadam na tytułowe nagranie, które dostałem od widza na Live streamie.

Instagram:   / patomatma  
Discord:   / discord  

Link do kursu: https://kursy.patomatma.pl
Link do nagrania omawiającego kurs:    • Kurs Maturalny Funkcje Temat Ogólny Podsta...  

Notatka dla głuchoniemych:

Liczba √2 to długość przekątnej kwadratu o boku 1 – czyli konkretny, skończony odcinek, który da się narysować linijką i cyrklem. Mimo to √2 jest liczbą niewymierną, a jej zapis dziesiętny to nieskończony, nieokresowy ciąg cyfr: 1.4142135... i tak dalej bez końca. To właśnie oznacza, że jest „nieskończona” – nie w sensie długości, lecz w sensie zapisu.

Problem leży w tym, że nasze intuicje geometryczne (rysunek) i liczbowe (liczby zapisane cyframi) operują na różnych płaszczyznach. Odcinek o długości √2 istnieje fizycznie, ale nie da się tej długości przedstawić jako dokładnej liczby wymiernej, czyli ułamka dwóch liczb całkowitych. Już starożytni pitagorejczycy wykazali to za pomocą dowodu nie wprost – pokazując, że gdyby √2 dało się zapisać jako ułamek, prowadziłoby to do sprzeczności.

Ten paradoks pokazuje, że długości geometryczne nie muszą odpowiadać „ładnym” liczbom. Mimo że coś można narysować jako skończony odcinek, jego dokładna długość może być zapisana tylko przy pomocy nieskończonego ciągu cyfr – czyli jest niewymierna.

Podsumowując: √2 jest skończoną długością, ale nie da się jej dokładnie zapisać w systemie dziesiętnym. „Nieskończoność” w tym kontekście dotyczy wyłącznie reprezentacji liczby, nie jej fizycznej manifestacji.