Aplikace dvojných integrálů | 7/8 Dvojné integrály | Matematika | Onlineschool.cz

Dobrá zpráva je, že se dnes nebudeme zabývat žádným novým počítáním. Jde jen o to, že některé funkce ve dvojných integrálech mají konkrétní matematický nebo fyzikální význam. 

Objem tělesa pod grafem funkce, velikost oblasti, hmotnost oblasti
Už v úvodním videu o dvojných integrálech jsme si ukazovali jednu z aplikací dvojných integrálů. Pokud máme funkci dvou proměnných F a dvojrozměrnou oblast M, která leží v rovině xy, tak integrál z funkce F přes tuto oblast mi vypočítá objem tělesa nad oblastí M a pod grafem funkce F.

Pokud by se funkce F rovnala 1, pak bychom integrací získali objem tělesa nad oblastí M, to by ale mělo výšku 1 a tím pádem by se objem shodoval s velikostí plochy M. Proto integrací jedničky vždy dostaneme velikost integrační oblasti.

Další z aplikací je výpočet hmotnosti oblasti M. Tato aplikace předpokládá, že známe funkci rozložení hustoty. Každá malá ploška dx dy bude pronásobena plošnou hustotou a získáme tak hmotnost plošky dx dy. Dvojný integrál tyto hmotnosti prosčítá a určí hmotnost plochy M.

Statické momenty k osám a poloha těžiště
Statické momenty plochy M k osám souřadnicového systému nám určitým způsobem popisuje rozložení plochy vůči těmto osám. Kdybych to hodně zjednodušil, říká nám, jak je osa od os daleko. Značíme je buď S nebo U.

Jednou y nejčastějších aplikací statických momentů je výpočet polohy těžiště. Těžiště jako bod (v tomto případě) o dvou souřadnicích se určí jako podíl statického momentu k ose a hmotnosti plochy.

Pokud zkoumáme těžiště plochy, která nemá zadanou hustotu (jedná se nám o geometrické těžiště), pak se vztah zjednodušuje do podoby podíl statického momentu k ose a velikost plochy.

Momenty setrvačnosti
Momenty setrvačnosti jsou další veličinou, která mi popisuje rozložení plochy, popř. její hmoty, vůči souřadnicovým osám nebo počátku souřadného systému. Používají se často ve fyzice nebo pružnosti a pevnosti.

Pokud si dvojné integrály v kartézských nebo polárních souřadnicích či jejich aplikace potřebuješ procvičit více, sbírku řešených příkladů na dvojné integrály můžeš najít na 👉🏼👉🏼👉🏼 https://onlineschool.cz/videosbirky/d...

Toto video najdeš také na webu Onlineschool.cz na https://onlineschool.cz/matematika/ap...

Registruj se k odběru, aby ti neuteklo žádné nové video! https://www.youtube.com/c/onlineschoo...

Můžeš sledovat mou tvorbu na Facebooku:   / onlineschoolcz  

Všechna videa z matematiky a dalších technických předmětů najdeš na https://www.onlineschool.cz