Т. Панов. Комплексная геометрия многообразий с действием тора I

Торическая геометрия и топология даёт большое количество примеров многообразий с "нестандартными" комплексными структурами, т.е. некэлеровыми и даже не мойшезоновыми. Одним из основных классов таких примеров являются момент-угол-многообразия. Комплексное момент-угол-многообразие Z задаётся некоторым набором комбинаторно-геометрических данных, включающих полный симплициальный (но не обязательно рациональный) веер. В случае рациональных вееров многообразие Z является тотальным пространством голоморфного расслоения над торическим многообразием со слоем компактный комплексный тор. В этом случае инварианты комплексной структуры на Z, такие как когомологии Дольбо и числа Ходжа, могут быть описаны при помощи спектральной последовательности Бореля голоморфного расслоения.

В общем случае на комплексном момент-угол-многообразии Z имеется каноническое голоморфное слоение F, эквивариантное под действием алгебраического тора. Примеры момент-угол-многообразий включают многообразия Хопфа, Калаби-Экманна и их деформации. Пара (Z,F) из многообразия и голомофрного слоения также изучалась как модель для некоммутативных торических многообразий в работах Katzarkov, Lupercio, Meersseman, Verjovsky (arXiv:1308.2774) и Ratiu, Zung (arXiv:1705.11110) .

Геометрия многообразий Z и слоений F весьма интересна и нестандартна. Основным инструментом для изучения геометрии комплексных момент-угол-многообразий Z является трансверсально кэлерова форма для слоения F. Такая форма существует при некоторых ограничениях на комбинаторные данные. Путём интегрирования трансверсально кэлеровой формы доказывается, что любое кэлерово подмногообразие в момент-угол-многообразии Z лежит в листе слоения F. Для общего момент-угол-многообразия Z в своём комбинаторном классе все его подмногообразия являются момент-угол-многообразиями меньшей размерности, а значит число их конечно. Это влечёт, в частности, что Z не допускает непостоянных мероморфных функций, т.е. его алгебраическая размерность равна нулю.

Battaglia, Zaffran (arXiv:1108.1637) вычислили базисные числа Бетти для канонического голоморфного слоения на момент-угол-многообразии Z, соответствующем расщепляемому (shellable) вееру. Ими была высказана гипотеза, что кольцо базисных когомологий в случае произвольного симплициального веера имеет тот же вид, что и кольцо когомологий полного симплициального торического многообразия (даваемое теоремой Данилова-Юркевича). Мы доказываем эту гипотезу. Доказательство использует спектральную последовательность Эйленберга-Мура; ключевым утверждением здесь является формальность модели Картана для действия тора на Z.