WSZYSTKO CO MUSISZ WIEDZIEĆ O ciągach

Dział: Ciągi liczbowe
Temat: Wszystko, co musisz wiedzieć o ciągach
[W opisie czeka MINI-QUIZ — sprawdź się po filmie! 🎯]

„CIĄGI 🔥 Wszystko, co musisz wiedzieć: wzory, sumy, granice i triki | Liceum”

———

Chcesz ogarnąć ciągi od A do Z — definicje, wzory, sumy i najczęstsze typy zadań, bez gubienia „n‑1” i mylenia r z q?
W tym filmie dostajesz kompletną ściągę: arytmetyczny, geometryczny, ujęcie rekurencyjne, sumy skończone i nieskończone, monotoniczność oraz granice prostych ciągów.

🔹 Co to jest ciąg: uporządkowany zbiór liczb a₁, a₂, a₃… gdzie n to numer wyrazu (sprawdzaj, od jakiego n startuje zadanie).
🔹 Trzy sposoby definiowania:
• wzór jawny aₙ,
• rekurencyjnie (a₁ podany, aₙ₊₁ zależy od aₙ),
• opisowo (słowami, np. „co krok dodajemy 3”).
🔹 Ciąg arytmetyczny: różnica r stała (aₙ₊₁ − aₙ = r).
• wzór: aₙ = a₁ + (n − 1) · r
• suma n wyrazów: Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n − 1) · r)
• monotoniczność: r większe niż 0 → rosnący; r mniejsze niż 0 → malejący; r równe 0 → stały.
🔹 Ciąg geometryczny: iloraz q stały (aₙ ≠ 0 dla definicji ilorazu).
• wzór: aₙ = a₁ · q^(n − 1)
• suma n wyrazów (q różne od 1): Sₙ = a₁ · (1 − q^n) / (1 − q)
• suma nieskończona: gdy wartość bezwzględna q mniejsza niż 1, to S∞ = a₁ / (1 − q)
• monotoniczność dla a₁ dodatniego: q większe niż 1 → rosnący; q między 0 a 1 → malejący; q mniejsze niż 0 → niemonotoniczny (oscyluje).
🔹 Rekurencje klasyczne:
• aₙ₊₁ = aₙ + r → ciąg arytmetyczny,
• aₙ₊₁ = q · aₙ → ciąg geometryczny.
🔹 Granice prostych ciągów (dla ciekawych):
• 1/n dąży do 0,
• q^n dąży do 0, gdy wartość bezwzględna q mniejsza niż 1.
🔹 Zastosowania: procent składany, amortyzacja, wzrost wykładniczy i liniowy.
🔹 Typowe pułapki:
• pomylenie r i q,
• „n − 1” zamienione na „n”,
• używanie wzoru na Sₙ ciągu geometrycznego przy q równym 1,
• brak sprawdzenia, od którego wyrazu zaczyna się indeksowanie,
• mylenie aₙ z Sₙ.

Dla kogo jest ten film?
🔹 Dla uczniów liceum, którzy chcą mieć pełną bazę do zadań z ciągów.
🔹 Dla przygotowujących się do sprawdzianu i matury.
🔹 Dla każdego, kto chce liczyć pewnie, szybko i bez wpadek.

———
MINI-QUIZ (Ciągi — liceum)
1. Dany jest ciąg aₙ = 3n − 5. Podaj: a₁, różnicę r oraz a₁₀. Oblicz też S₁₀.
2. Ciąg geometryczny ma a₁ równe 5 i q równe 2. Oblicz a₅ i S₅.
3. Dany rekurencyjnie ciąg: a₁ równe 2, aₙ₊₁ równe aₙ + 3. Podaj wzór jawny aₙ, a także a₈ i S₈.
4. Kiedy ciąg geometryczny o a₁ dodatnim jest rosnący, kiedy malejący, a kiedy niemonotoniczny? Odpowiedz jednym zdaniem.
5. Czy szereg geometryczny o a₁ równym 3 i q równym 0,8 jest zbieżny? Jeśli tak, podaj S∞.

———

Jeśli chcesz więcej takich filmów, zostaw kciuk w górę i zasubskrybuj kanał — razem ogarniemy każdy dział!
Napisz w komentarzu „ściąga”, jeśli chcesz krótką listę wzorów do druku.

#matematyka #liceum #ciągi #arytmetyczny #geometryczny #sumaCiągu #matura

LINK DO WSPARCIA KANAŁU:
   / @matwujek  

Wpadajcie do mnie na:
@matwujek
🖥️ https://matwujek.pl
👾 Dc:   / discord  
🎶 Tt:   / matwujek  
📸 Ig:   / matwujek  
Fb:   / matwujek  
📧 @: [email protected]