Семинар по анализу №3, Л.В. Локуциевский

10.11.25
Локуциевский Лев Вячеславович
Анормальные геодезические в субримановой геометрии.

Хорошо известно, что анализ СДУ $dx = \sum_{i=1}^k f_i(x)\circ dw_i$, где $x\in\mathbb{R}^n$ и $k меньше n$, тесно связан со свойствами детерминированной управляемой системы $\dot x = \sum_{i=1}^k f_i(x)u_i$. В частности, условие Хёрмандера, гарантирующее гладкость плотности решения СДУ, порождает на пространстве состояний субриманову геометрию.

Важную роль в анализе СДУ (например, в асимптотиках малого времени для плотности) играют кратчайшие пути в этой геометрии -- геодезические. Большинство из них находятся стандартными методами вариационного исчисления через уравнение Эйлера--Лагранжа. Однако существуют и так называемые анормальные геодезические -- локально кратчайшие кривые, которые невидимы для стандартного гамильтонова формализма. Именно они несут ответственность за многие трудности в субримановой геометрии, и их природа до сих пор во многом загадочна.

В докладе будет дано введение в проблему анормальных геодезических на аналитическом языке. Мы обсудим их основные свойства, классические и новые примеры, а также открытые вопросы.