Crash Course Of Class 10th 2026 | वृत | Circle | Ex-10.1 | JAC BOARD Math | One Shot Of Circle 🔥|

📘 अध्याय – वृत्त तथा स्पर्श रेखा

विषय – गणित | कक्षा – 10 | बोर्ड – JAC (Jharkhand Academic Council)

वृत्त तथा स्पर्श रेखा (Tangent to a Circle) गणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण एवं अवधारणात्मक अध्याय है। यह अध्याय छात्रों में ज्यामितीय समझ, तर्कशक्ति और प्रमाण लिखने की क्षमता को विकसित करता है। JAC बोर्ड की परीक्षा में इस अध्याय से हर वर्ष निश्चित रूप से प्रश्न पूछे जाते हैं, विशेषकर प्रमेय (Theorems) और उनके प्रमाण।


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🔹 वृत्त की परिभाषा

वृत्त वह समतल आकृति है, जिसमें किसी निश्चित बिंदु (केन्द्र) से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है।


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🔹 वृत्त से संबंधित प्रमुख शब्दावली:

केन्द्र (Centre)

त्रिज्या (Radius)

व्यास (Diameter)

जीवा (Chord)

चाप (Arc)

अर्द्धवृत्त (Semicircle)

वृत्त का आंतरिक भाग एवं बाह्य भाग


ये सभी अवधारणाएँ आगे आने वाले प्रमेयों और स्पर्श रेखा को समझने का आधार बनती हैं।


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🔸 वृत्त से संबंधित प्रमेय (Circle Theorems):

1️⃣ केन्द्र से खींची गई लम्ब जीवा को समद्विभाजित करती है

👉 यदि केन्द्र से किसी जीवा पर लंब खींची जाए, तो वह जीवा को दो बराबर भागों में बाँट देती है।

2️⃣ समान जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर होती हैं

👉 यदि दो जीवाएँ बराबर हों, तो वे केन्द्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं।

3️⃣ केन्द्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ समान होती हैं

👉 जो जीवाएँ केन्द्र से बराबर दूरी पर हों, वे लंबाई में समान होती हैं।

इन प्रमेयों के साफ-सुथरे प्रमाण और सही आरेख परीक्षा में अच्छे अंक दिलाते हैं।


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🔹 स्पर्श रेखा (Tangent to a Circle)

🔸 स्पर्श रेखा की परिभाषा

वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है और वृत्त को न काटे, स्पर्श रेखा कहलाती है।


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🔸 स्पर्श रेखा से संबंधित मुख्य गुण (Properties):

✅ 1️⃣ स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है

👉 वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर 90° का कोण बनाती है।
यह प्रमेय JAC बोर्ड परीक्षा में सबसे महत्वपूर्ण माना जाता है।


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✅ 2️⃣ किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं

👉 यदि वृत्त के बाहर किसी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाएँ, तो उनकी लंबाइयाँ समान होती हैं।


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✅ 3️⃣ स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर काटती है

👉 स्पर्श रेखा कभी भी वृत्त को दो बिंदुओं पर नहीं काटती।


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📝 परीक्षा की दृष्टि से अध्याय का महत्व:

JAC Board Class 10 की परीक्षा में इस अध्याय से 4 से 8 अंक तक के प्रश्न आते हैं।

प्रमेयों के पूर्ण प्रमाण,

आरेख आधारित प्रश्न,

कथन-कारण (Statement–Reason) प्रश्न
अक्सर पूछे जाते हैं।



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🎯 अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण सुझाव:

✔ सभी प्रमेयों को शब्दशः याद न करके समझकर पढ़ें
✔ हर प्रमेय का आरेख स्वयं बनाएँ
✔ स्पर्श रेखा वाले प्रश्नों में समकोण (90°) का विशेष ध्यान रखें
✔ उत्तर लिखते समय स्टेप-वाइज समाधान करें


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📌 निष्कर्ष:

वृत्त एवं स्पर्श रेखा अध्याय गणित का एक अत्यंत स्कोरिंग अध्याय है। यदि छात्र इसकी अवधारणाओं, प्रमेयों और गुणों को अच्छी तरह समझ लेते हैं, तो बोर्ड परीक्षा में पूर्ण अंक प्राप्त करना आसान हो जाता है।


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