Tudo que você precisa saber sobre os números reais | Uma Não Tão Breve História do Espaço.

Neste episódio, deixaremos quase tudo pronto para dar um grande salto histórico. Nós fecharemos a longa discussão iniciada na antiguidade sobre a natureza do continuum e, com isso, estaremos prontos para conhecer uma das maiores descobertas na história da Matemática: o Cálculo Diferencial e Integral. Veremos como um dos maiores matemáticos da antiguidade, Eudoxo de Cnido, forneceu a ideia fundamental que 2300 anos depois serviu de base para nosso entendimento atual dos números reais (o modelo básico). Com este vídeo, você provavelmente terá uma perspectiva diferente sobre velhos assuntos da educação básica, os quais se revelam mais interessantes e profundos do que parecem.

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SUMÁRIO (Sim! Este vídeo é bastante denso : )
00:09 Uma breve revisão/problematização;
02:02 Pergunta pertinente;
02:47 Deficiência dos números racionais/pergunta pertinente;
03:21 Lema da Academia de Platão;
03:27 A continuidade do traço;
03:35 O maior motivo para a crise na Matemática Grega;
04:03 Perguntas pertinentes;
04:32 O dilema de Demócrito/consequência da existência de "átomos geométricos" (infinitesimais);
06:05 Breve introdução ao tema principal do vídeo;
07:17 Uma breve biografia de Eudoxo de Cnido (personagem principal do vídeo);
10:11 A Teoria das Proporções (grande tema deste vídeo);
10:13 Sobre a validade do Teorema de Tales para o caso COMENSURÁVEL;
12:28 Registro histórico da Teoria das Proporções;
12:45 Citações interessantes;
12:57 Sobre magnitudes de mesma espécie;
13:52 Início da explicação da Teoria das Proporções (como Eudoxo chegou a teoria);
14:13 A interpretação geométrica da equivalência entre frações;
15:46 Duas definições para equivalência entre frações;
16:48 A definição de equivalência entre frações usa por Eudoxo;
16:53 Comentário importante (uma visão moderna sobre equivalência entre frações e números racionais);
19:04 Sobre o uso do critério de igualdade para racionais na Teoria das Proporções;
19:54 O que acontece quando aplicamos o método pitagórico para segmentos incomensuráveis?;
20:16 A definição de proporcionalidade de Eudoxo para segmentos comensuráveis e incomensuráveis (uma das maiores realizações matemáticas da antiguidade na minha opinião);
21:05 Um breve comentário sobre a pertinência da notação matemática moderna e a maneira como Eudoxo pode ter enunciado sua definição à época (enunciado de Euclides);
22:23 Esboço da prova para o Teorema de Tales no caso geral (SEGMENTOS COMENSURÁVEIS OU INCOMENSURÁVEL);
24:49 Sobre a moderna teoria dos números (SOBRE O QUE A TEORIA DE EUDOXO REALMENTE NOS ENSINA);
25:51 Definição de Dedekind para conjuntos infinitos (O INFINITO REAL ENTRE NA MATEMÁTICA DE UMA VEZ POR TODAS);
25:48 A construção dos números reais por Dedekind baseado na Teoria das Proporções;
26:28 A interpretação de Dedekind para o critério de proporcionalidade proposto por Eudoxo;
27:25 CADA NÚMERO REAL INTERPRETADO COMO CONJUNTOS;
27:46 Os Cortes de Dedekind;
28:04 Solução para o problema de associação entre ponto na reta geométrica e números. Dedekind completa o conjunto dos números racionais e cria o modelo por excelência para o continuum matemático (a geometria e os números se fundem de maneira segura);
28:51 Exemplo clássico de número irracional e seu Corte de Dedekind;
29:20 Sobre uma descrição equivalente de números reais (mais intuitiva e prática);
29:26 Números reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy;
30:17 Sobre o infinito real e o infinito potencial na Teoria dos Números Reais;
31:08 Um breve resumo do que fez Eudoxo e Dedekind;
31:55 Uma equaçãozinha simbólica que representa tudo que foi discutido;
31:59 Os números reais NÃO contém infinitesimais nem segmentos infinitos;
32:06 O que acontece se forçarmos a interpretação de números reais pelo método pitagórico?
32:36 Sobre a maneira correta de compreender a indeterminação infinito sobre infinito (alguém conhece a Regra de l'Hôpital? Comente!);
33:13 Representação de números reais computáveis;
34:31 Exemplos de frações contínua (simples e generalizadas);
34:46 Quebrando um antigo dogma do ensino básico;
35:21 Computadores não podem traçar circunferências com a perfeição do mundo das ideias!
35:59 Uma breve aparição de limite de sequências;
36:04 Os infinitesimais nunca ficaram de fora da Matemática;
36:36 Os infinitesimais no século XX (breve comentário);
37:09 A evolução histórica do conceito de infinitesimais dá uma lição de humildade para físicos e matemáticos;
37:50 Recomendação de um artigo.
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Referências:
Introdução à História da Matemática - Howard Eves;
História da Matemática - Carl B. Boyer;
Eudoxo, Dedekind, números reais e ensino de Matemática (autor: Geraldo Ávila) Revista do Professor de Matemática RPM 07;
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk....