Wärmeleitungsgleichung am Beispiel eines zum Kreis gebogenen Drahts (Folge 362)

Wie lässt sich mit dem Produktansatz von Fourier und Bernoulli die Wärmeleitungsgleichung am Beispiel eines zum Kreis gebogenen Drahts mithilfe ebener Polarkoordinaten lösen?


Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, wie sich mit dem Produktansatz von Fourier und Bernoulli die Wärmeleitungsgleichung am Beispiel eines zum Kreis gebogenen eindimensionalen Drahts mithilfe ebener Polarkoordinaten lösen lässt. Aufgrund der vorhandenen Geometrie bietet es sich hier an, die Wärmeleitungsgleichung zunächst auf ebene Polarkoordinaten zu transformieren. Dabei zeigt es sich, dass die dann entstehende partielle Differenzialgleichung in ein Randeigenwertproblem zweiter Ordnung für die Winkelfunktion und in eine gewöhnliche homogene lineare Differenzialgleichung erster Ordnung für die Zeitfunktion zerfällt. Weil die Wärmeleitungsgleichung eine lineare partielle Differenzialgleichung ist, lässt sich auch hier wieder das Superpositionsprinzip anwenden. Als allgemeine Lösung erhält man dann eine unendliche Reihe der Eigenfunktionen, wobei sich die auftretenden Koeffizienten durch Fourierreihenentwicklung einer
vorgegebenen Anfangsbedingung ermitteln lassen.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 13: Partielle Differenzialgleichungen

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