How to derive Rodrigues’ rotation formula for rotating a vector around a random vector

array(10) { [0]=> object(stdClass)#4242 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "CQSC5W5bPXQ" ["related_video_title"]=> string(100) "Mastering 3D Rotations: Rodrigues' Rotation Formula Explained | Finite Rotation Series (Part 3 of 4)" ["posted_time"]=> string(25) "3 месяца назад" ["channelName"]=> string(29) "Good Vibrations with Freeball" } [1]=> object(stdClass)#4215 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "Fh3nMi87cB8" ["related_video_title"]=> string(47) "Derivation of Rodrigues’ Rotation Formula" ["posted_time"]=> string(19) "6 лет назад" ["channelName"]=> string(15) "Christopher Lum" } [2]=> object(stdClass)#4240 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "sgoeQFOxwYA" ["related_video_title"]=> string(47) "Формула поворота Родрига" ["posted_time"]=> string(20) "11 лет назад" ["channelName"]=> string(12) "Kirsanov2011" } [3]=> object(stdClass)#4247 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "bTaui2Dn9jE" ["related_video_title"]=> string(28) "Rotating a vector or a frame" ["posted_time"]=> string(23) "1 месяц назад" ["channelName"]=> string(17) "MAD ABOUT SCIENCE" } [4]=> object(stdClass)#4226 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "R80cV8pryOM" ["related_video_title"]=> string(46) "Парадокс изогнутой трубы" ["posted_time"]=> string(21) "4 года назад" ["channelName"]=> string(70) "GetAClass - Физика в опытах и экспериментах" } [5]=> object(stdClass)#4244 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "OortEZ0-970" ["related_video_title"]=> string(37) "The Rodrigues’ rotation formula" ["posted_time"]=> string(25) "2 недели назад" ["channelName"]=> string(17) "MAD ABOUT SCIENCE" } [6]=> object(stdClass)#4239 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "blWdjRUPP6E" ["related_video_title"]=> string(72) "Разведчик о том, как использовать людей" ["posted_time"]=> string(25) "2 недели назад" ["channelName"]=> string(18) "Коллектив" } [7]=> object(stdClass)#4249 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "OI7_e41eOy0" ["related_video_title"]=> string(166) "✓ Веревку вокруг Земли удлинили на 1 см. Пройдёт ли человек? | Ботай со мной #092 | Борис Трушин" ["posted_time"]=> string(21) "4 года назад" ["channelName"]=> string(23) "Борис Трушин" } [8]=> object(stdClass)#4225 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "MoCr10HvPcI" ["related_video_title"]=> string(26) "Rodrigues rotation formula" ["posted_time"]=> string(23) "1 месяц назад" ["channelName"]=> string(17) "MAD ABOUT SCIENCE" } [9]=> object(stdClass)#4243 (5) { ["video_id"]=> int(9999999) ["related_video_id"]=> string(11) "bZb3a45uH78" ["related_video_title"]=> string(176) "Вундеркинд атакует! Фаустино Оро - Ян Непомнящий. Командный Чемпионат Мира по блицу - 2025. Шахматы" ["posted_time"]=> string(23) "8 часов назад" ["channelName"]=> string(62) "Шахматные идеи с Сергеем Кривенко" } }