Solución Tarea 4 Aplicaciones de la Integral - UNAD 2025-02

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Primer ejercicio – Áreas entre curvas.
Hallar el área determinada por las regiones de cada uno de los ejercicios, teniendo en cuenta:

Hallar los puntos donde se intersecan (con tres cifras decimales de aproximación) de manera matemática y verificar los resultados con lo reportado por GeoGebra.

Describir la integral que determina el área entre las dos curvas y solucionarla paso a paso.

Tabla 1.
Ejercicios área entre curvas
Letra – Ejercicio

a. Calcular el área limitada por la gráfica y = x^2 + 2 y la recta y = 1 - x. Entre el intervalo [0,1]

b. Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones y = (x - 1)^2 y y = -x + 3.

c. Determine el área de la figura plana limitada por y = x^3 - x^2 - 2x + 1 y y = x^2 - 2x + 1.

d. Hallar el área de la región limitada por las funciones y = x - 1 y y = 2x^3 - 1, en el intervalo de [1,2].

e. Determine la región limitada por y = x^3 - 3x + 2 y y = x + 2.

SEGUNDO EJERCICIO – Sólidos de revolución (texto plano)

Hallar el volumen del sólido de revolución determinado al girar la región dada alrededor del eje indicado:

Hallar matemáticamente el volumen y verificar con GeoGebra.

Describir la integral que determina el volumen y solucionarla paso a paso.

Tabla 2 – Ejercicios sobre sólidos de revolución

a) Determine el volumen del sólido generado al girar alrededor de la recta y = 1 la región acotada por y = raiz(x) y las rectas y = 1 y x = 4.

b) Determine el volumen del sólido generado al hacer girar con respecto al eje y la curva x = 2 / y, con x=2/y,1≤y≤4.

c) Determine el volumen del sólido generado al hacer girar con respecto a la recta x = 3 la región comprendida entre la parábola x = y^2 + 1 y la recta x = 3.

d) Para generar un sólido, se hace girar alrededor del eje x la región acotada por la curva y = x^2 + 1 y la recta y = −x + 3. Determine el volumen del sólido.

e) Para generar un sólido, se hace girar alrededor del eje y la región acotada por la parábola y = x^2 y la recta y = 2x en el primer cuadrante. Determine el volumen del sólido.

Tercer ejercicio – Aplicaciones.

Solucionar un problema de aplicaciones relacionado con teorema del valor medio, preferiblemente vinculado a su programa académico haciendo uso de CHATGPT. La solución del ejercicio la realiza mediante un video, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

Fórmula del teorema del valor medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] entonces existe al menos un número c ∈ (a,b), tal que
1/(b−a) ∫_a^b f(x) dx

Grabar el video por medio de un dispositivo que permita utilizar cámara y voz: como un celular o la cámara del computador.

Debe grabarse mientras desarrolla y explica el ejercicio en un tablero o en una hoja de papel, en donde deje claro los pasos, propiedades o métodos utilizados junto con la respuesta final. El video no debe superar los 5 minutos.

El enlace de sustentación puede ser generado por Loom, Youtube o Teams.

Tabla 3. Ejercicios teorema del valor medio
Letra — Ejercicio:

a. Médico (Cardiólogo)
Contexto: Durante una prueba de esfuerzo de 5 minutos, el ritmo cardíaco de un paciente aumentó gradualmente de 70 a 100 latidos por minuto. Se modela el ritmo cardíaco mediante la función continua:
H(t) = 70 + 30 sen(πt/5)
Donde H(t) es el ritmo cardiaco en latidos por minuto (lpm) y t el tiempo en minutos de un intervalo [0,5].

b. Economista
Un economista estudia la productividad de una empresa, dada por P(t) = 100 − 10 e^(−0.5 t), donde t es el tiempo en horas de jornada. Encuentra la productividad promedio entre las horas 0 y 8.

c. Ingeniero electrónico
Un ingeniero mide la intensidad de corriente en un circuito durante 10 segundos con I(t) = 5 sen(πt/10) A. Determine el valor de la corriente promedio.

d. Educación
Una profesora registra la concentración de un alumno durante una clase de 60 minutos como C(t) = 80/(1 + 0.1 t). Halla el nivel promedio de concentración.

e. Agronomía
La tasa de crecimiento de una planta es: G(t) = 3 + ln(t + 1)
Si t el tiempo en minutos de un intervalo [0,5] semanas. Determine el crecimiento promedio de la planta.