Was ist ein Normalteiler? (Idee, Nutzen, Beispiele) | Math Intuition

Zwei ausführliche Beispiele, um zu zeigen, was ein Normalteiler ist.
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Erklärung, wieso Sym(3) / Alt(3) nur zwei Elemente hat:

Die Schreibweise [g] im Video habe ich anstelle von gN (mit N=Alt(3)) gewählt. Damit bekommen wir die Menge [Id] = Id N = Id Alt(3) = {Id*Id, Id*(123), Id*(132)} = {Id, (123), (132)} = Alt(3).

Dies ist eine Rechtsnebenklasse UND gleichzeitig auch die Linksnebenklasse des Elements Id (weil Alt(3) ein Normalteiler ist, sind genau Rechts- und Linksnebenklassen identisch). Dabei soll das Symbol * der "Kringel" sein, mit dem ich Abbildungen verknüpfe.

Die Nebenklasse des Elements (12) ist die Menge [(12)] = (12) N = (12) Alt(3) = {(12)*Id, (12)*(123), (12)*(132)} = {(12), (23), (13)}.

Also liegen alle 6 Elemente meiner Gruppe Sym(3) in einer dieser beiden Nebenklassen: [Id] oder [(12)]. Deshalb hat die Faktorgruppe nur zwei Elemente.

Bemerkung: Anstelle von [(12)] hätte ich auch [(13)] oder [(23)] wählen können, da dies nur andere Vertreter derselben Nebenklasse sind. Ebenso natürlich bei [Id] = [(123)] = [(132)].