EX-7.6 INTEGRATION BY PART

⭐ Integration by Parts – विवरण (Class 12, NCERT)

जब हम दो functions के गुणन का integration करते हैं, और उनका सीधा-सीधा integration संभव नहीं होता, तब Integration by Parts का नियम उपयोग किया जाता है।

📌 Integration by Parts का सूत्र
∫(u⋅v)dx=u∫vdx−∫(du/dx⋅∫vdx)dx

इसका सरल अर्थ:

एक function को u मानना है

दूसरे function को v मानकर उसका integration करना है

📌 LIATE Rule (u चुनने का नियम)

u चुनने के लिए यह क्रम अपनाएँ:

L → Logarithmic
I → Inverse Trigonometric
A → Algebraic
T → Trigonometric
E → Exponential

जो पहले आए, उसे u लेते हैं।

⭐ उदाहरण:
∫xsinxdx

यहाँ
x = Algebraic
sinx = Trigonometric

I LATE के अनुसार Algebraic पहले आता है ⇒ u = x
और v = sin x

🔍 क्यों इस्तेमाल करते हैं?

जब: functions का product हो

direct integration संभव न हो

एक function differentiate करने पर सरल हो जाए

दूसरा function integrate करने पर manageable हो

तब Integration by Parts सबसे अच्छा तरीका है।

🎯 NCERT में जिन पर Integration by Parts लगाया जाता है
Inverse trigonometric functions के साथ integrals

Polynomial × trigonometric/exponential