Coordenadas de un vector respecto de una base

Correspondiente a 2º de Bachillerato, en este vídeo se dan las coordenadas de cuatro vectores en la base canónica tridimensional (la formada por los tres vectores unitarios i, j, k en las direcciones de los ejes de coordenadas x, y, z). La primera parte del ejercicio pide comprobar que tres de esos vectores forman una base. En un principio, habría que demostrar que los tres vectores son un sistema libre (vectores linealmente independientes) y que forman un sistema generador. Sin embargo, como el número de vectores de la base coincide con el número de coordenadas de cada vector, tan solo hay que comprobar que los tres vectores son linealmente independientes. Para ello, se forma una matriz 3x3 en la que se disponen por filas (o por columnas) las coordenadas de los tres vectores. Si la matriz tiene rango 3 (su determinante es distinto de cero) los vectores son linealmente independientes y forman una base en el espacio tridimensional.
En la segunda parte del vídeo se pide calcular las coordenadas de un cuarto vector respecto a la base anterior. Para ello, se expresa dicho vector como combinación lineal de los tres vectores de la base, de forma que se obtiene un sistema de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son precisamente las coordenadas que se piden.

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