362--如何比較振動頻譜？加速度的功率頻譜和三分之一倍頻頻譜？(

《振動噪音科普專欄》如何比較振動頻譜？加速度的功率頻譜和三分之一倍頻頻譜？
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這個單元要來探討的主題是：如何比較「振動頻譜」(vibration spectrum)？「加速度」(acceleration)的「功率頻譜」(power spectrum)和「三分之一倍頻頻譜」(one third octave band spectrum)？

首先破題來看，甚麼是「振動頻譜」(vibration spectrum)？振動頻譜其實是一個通稱，只要量到振動的響應，取得了頻譜，就稱之為「振動頻譜」。不過，因為常用的感測器(sensor)是「加速度規」(accelerometer)，所以振動頻譜的物理意義(physical meaning)，常用的就是「加速度頻譜」(acceleration spectrum)。

其次，頻譜(spectrum)有哪些類型？本單元將介紹說明常用、且重要的兩種頻譜：

1. 「功率頻譜」(power spectrum)，𝑮𝒂𝒂(𝒇)：也可稱為PSD頻譜，PSD是Power Spectral Density，「功率頻譜密度」函數，簡稱為「功率頻譜」。
2. 「三分之一倍頻頻譜」(one third octave band spectrum)，𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)：其中，𝒇𝒄是中心頻率(center frequency)，也就是在𝒇𝒄中心頻率的頻帶之振動總量，通常以dB單位表示。

觀察圖示，右側上方是𝑮𝒂𝒂(𝒇)，而右側下方是𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的分布曲線及量值。兩者，都是以dB單位表示，其物理量 = 加速度位準 (dB)，完整的單位標註：dB 𝒓𝒆 𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐 =𝟏𝟎^(−𝟔)/(𝟗.𝟖𝟎𝟕) 𝐠。會除以𝟗.𝟖𝟎𝟕，是因為： 1 𝐠 = 𝟗.𝟖𝟎𝟕 𝐦/𝐬^𝟐。加速度位準的定義：𝑳𝒂=𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝑨𝒓𝒎𝒔/ 𝑨𝒓𝒆𝒇)，其中，𝑨𝒓𝒆𝒇=𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐。

𝑮𝒂𝒂(𝒇) 「加速度功率頻譜」的x軸：物理量 = 頻率 (Hz)，也是可以取LIN (linear) 或是 LOG (logarithmic)座標。x軸，會取LOG座標，主要是配合人體感官的感覺效果，人體對頻率的變動是LOG，而不是LIN。圖示右側的中間是𝑮𝒂𝒂(𝒇) 「加速度功率頻譜」，x軸取LOG座標，可以方便和𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的「加速度三分之一倍頻頻譜」做比較。

接著，思考的問題：如何表示振動大小呢？簡要來說，可以有兩種方式：振動總量(Overall value, OA)，以及1/3倍頻頻譜的頻帶振動總量。

首先，針對取得振動總量(Overall value, OA)，有兩種表達方式：

1. 𝑨𝒓𝒎𝒔，加速度的RMS值(root mean square (RMS) value)：參閱圖片左邊的積分式，可以得到：𝑨𝒓𝒎𝒔，加速度的RMS值，也就是加速度的平方平均根RMS值。這是常用的加速度大小的總量表示方式之一。理念上，對𝑮𝒂𝒂(𝒇)，取積分，設定下限頻率(lower bound frequency) 𝒇𝒍，上限頻率(upper bound frequency) 𝒇𝒖。可參閱圖示的積分方程式，物理意義說明如下：透過對 𝑮𝒂𝒂(𝒇)取上下限頻帶的積分，也就是𝑮𝒂𝒂(𝒇)曲線和x軸的所圍面積，也就是該頻率區間的總能量，再取根號，就可以得到該中心頻率的加速度RMS值g。本案例，𝒇𝒍=0，𝒇𝒖=20000 Hz時，𝑨𝒓𝒎𝒔=0.0852126 (g)。
2. 𝑳𝒂,𝒆𝒒，稱為「加速度位準」(acceleration level)：另一種表示振動總量的方式，是𝑳𝒂,𝒆𝒒，稱為「加速度位準」(acceleration level)，或稱「加速度級」。完整的單位標註：dB 𝒓𝒆 𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐 =𝟏𝟎^(−𝟔)/(𝟗.𝟖𝟎𝟕) 𝐠。前項，會除以𝟗.𝟖𝟎𝟕，是因為： 1 𝐠 = 𝟗.𝟖𝟎𝟕 𝐦/𝐬^𝟐。加速度位準的定義：𝑳𝒂=𝟐𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 (𝑨𝒓𝒎𝒔/ 𝑨𝒓𝒆𝒇)，其中，𝑨𝒓𝒆𝒇=𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐。本案例，𝑨𝒓𝒎𝒔=0.0852126 (g)，可推算出：𝑳𝒂,𝒆𝒒=118.44 dB。另外一種取得𝑳𝒂,𝒆𝒒 的方式，是由𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)取得，概念上，累加每一個中心頻率 𝒇𝒄 的𝑳𝒂(𝒇𝒄)，就可以取得𝑳𝒂,𝒆𝒒=118.44 dB。本質上，兩種取得的方式，物理意義都相同，所以，數值上也都相同。

表示振動大小，除了觀察振動總量的OA值，也就是𝑨𝒓𝒎𝒔，加速度的RMS值、或是 𝑳𝒂,𝒆𝒒「加速度位準」。也可以觀察𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 1/3倍頻頻譜的頻帶振動總量，可參閱圖示右側下方的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)示意圖。物理意義是：每一個 𝒇𝒄 中心頻率(central frequency)的加速度位準dB，也就是該頻帶的𝑨𝒓𝒎𝒔(𝒇𝒄)，只是將𝑨𝒓𝒎𝒔，轉換為dB單位。

最後的一個問題：如何觀察比較振動頻譜呢？建議的步驟，說明如下：

1. 觀察振動總量(Overall value, OA)，𝑨𝒓𝒎𝒔、或是𝑳𝒂,𝒆𝒒：在本案例，𝑨𝒓𝒎𝒔=0.0852126 (g)，對應的𝑳𝒂,𝒆𝒒=118.44 dB 𝒓𝒆 𝟏𝟎^(−𝟔) 𝐦/𝐬^𝟐。如果，OA值，沒有超過管制標準，當然就天下太平。但是，如果OA值超過管制標準，就需要啟動分析與診斷的作業。
2. 觀察加速度dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)：目的在瞭解主要振動貢獻頻帶。本案例，高貢獻度頻帶是 𝒇𝒄 = 4000 Hz 以及𝒇𝒄 = 5000 Hz，甚至由於𝒇𝒄 = 25、63、1250 Hz比起鄰近的頻帶，高出約10 dB，所以可能出現純音效應(pure tone effect)的異常振動。
3. 觀察加速度dB的頻率logarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)：目的在瞭解對應於𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)的高貢獻頻帶，透過與頻率logarithmic座標𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示比對，可以判斷係來自哪個頻率區間的振動頻譜響應。
4. 觀察加速度dB的頻率linear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)：在頻率linear座標的𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，可以判斷主要的高貢獻度頻帶。參閱圖片右上方的𝑮𝒂𝒂(𝒇)圖示，紅色曲線是以平滑化(smoothing)技巧，所取得的特徵曲線，可發現高貢獻度的頻帶，在4000~6000 Hz頻帶之間，可能有兩個共振(resonance)效應，這是需要進一步分析診斷的有興趣頻帶。

最後，綜合這個單元的討論，重點說明如下：

1. 甚麼「振動頻譜」(vibration spectrum)？因為常用的感測器(sensor)是「加速度規」(accelerometer)，所以振動頻譜的物理意義(physical meaning)，常用的就是「加速度頻譜」(acceleration spectrum)。
2. 頻譜(spectrum)有哪些類型？本單元將介紹說明常用、且重要的兩種頻譜：(1) 𝑮𝒂𝒂(𝒇)「加速度功率頻譜」(power spectrum)，(2) 𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)「加速度三分之一倍頻頻譜」(one third octave band spectrum)。
3. 如何表示振動大小呢？簡要來說，可以有兩種方式：(1) 振動總量(Overall value, OA)，𝑨𝒓𝒎𝒔、或是𝑳𝒂,𝒆𝒒。以及(2) 加速度dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄) 1/3倍頻頻譜的頻帶振動總量。
4. 如何觀察比較振動頻譜呢？建議了4個步驟：(1) 𝑨𝒓𝒎𝒔、或是𝑳𝒂,𝒆𝒒 的dB，(2) dB的𝑮𝒂𝒂,𝟏/𝟑(𝒇𝒄)，(3) dB的logarithmic座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)，(4) dB的linear座標 𝑮𝒂𝒂(𝒇)。

以上個人看法，請多指教！

王栢村
2024.03.13