FUVEST 2025 2ª Fase -- M03 -- Tabela de Números Determinantes

Após uma proposta de atividade de uma professora que incentivava estudantes de sua turma a explorar, em uma tabela numérica, o pensamento matemático por meio de atividades investigativas, a turma percebeu diversos padrões interessantes.
Considere uma tabela com 10 colunas, em que os números naturais estão dispostos sequencialmente a partir da primeira linha. Nessa tabela, a professora destacou um retângulo, como mostra a figura:
Posteriormente, definiu como 𝑆 a soma dos elementos do retângulo e como 𝐷 o módulo da diferença do produto dos elementos das diagonais. Para o retângulo destacado, temos:
𝑆 = 6 + 7 + 16 + 17 = 46.
𝐷 = │7×16 ꟷ 6×17│ = │112 ꟷ 102│ = 10.
Se esse retângulo for deslocado uma coluna para a direita, teremos S = 50, e se for deslocado uma linha para baixo, teremos 𝑆 = 86.
A partir das informações apresentadas, responda:
a) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado 𝑛 linhas para baixo, qual será o valor de 𝑆?
b) Se o retângulo destacado da tabela for deslocado 𝑛 linhas para baixo, qual será o valor de 𝐷?
c) Considere agora que a tabela foi construída com 𝑛 colunas, sendo 𝑛 ≥ 2. Qual é o valor de 𝐷 para um retângulo cujo menor elemento é 𝑘, com 𝑘 ≠ 𝑝𝑛 (𝑝 ∈ ℕ)?