Ирина Шатова. Теория Брилля - Нётера и расслоения Лазарсфельда на K3 поверхностях

Кривая C называется общей по Бриллю–Нётеру, если для любого линейного расслоения A на C выполняется ρ(A) = g − h^0(A)h^1(A) ≥ 0. Если deg A = d и h^0(A) = r + 1, то по теореме Римана–Роха получаем ρ(A) = ρ(g, r, d) = g − (r + 1)(r − d + g). Следующая теорема является одной из главных теорем в классической теории Брилля–Нётера. Верно, что для общей кривой C выполняется следующее свойство: если на C нашлось линейное расслоение степени d, проективная размерность которого равна r, то число Брилля–Нётера ρ(g, r, d) неотрицательно, то есть ρ(g, r, d) = g − (r + 1)(r − d + g) ≥ 0. Иначе говоря, общая кривая является общей по Бриллю–Нётеру. Для доказательства этой теоремы вначале нужно заметить, что свойство кривых быть общими по Бриллю–Нётеру открыто и достаточно показать, что среди кривых фиксированного рода g найдется хотя бы одна кривая, общая по Бриллю–Нётеру. Первое доказательство этого факта довольно сложно и использует теорию деформаций. В 1986 году Роберт Лазарсфельд в своей статье Brill–Norther–Petri without degenerations предложил более изящное доказательство этого утверждения. Ключевую роль в доказательстве Лазарсфельда играет его наблюдение о том, что кривые на К3-поверхности с числом Пикара 1 являются общими по
Бриллю–Нётеру. Мы обсудим основные шаги доказательства Лазарсфельда, а также поговорим о том, как можно было бы пытаться обобщить теорему Лазарсфельда, заменив у К3-поверхности X свойство Pic X изоморфно Z на более слабое свойство.