Секреты потерянных стен с числами

В этом видео речь идет о числовых стенах — очень красивой области математики, о которой, похоже, мало кто знает. Время для основательной матологизации :) В целом, вполне логичное продолжение очень популярного видео о таблицах разностей, вышедшего пару месяцев назад («Почему не преподают исчисление Ньютона «Что дальше?»»)

00:00 Вступление
01:02 Глава 1: Что в стене
03:35 Глава 2: Оракул числовой стены
14:31 Глава 3: У стен есть окна
16:34 Анимация последовательности «Пагода»
18:13 Глава 4: Ноль проблем
25:31 Глава 5: Определители
32:49 Анимация с музыкой
35:22 Спасибо :)

Ссылки на числовые стены
Основной источник информации о числовых стенах — статья Фреда Ланнона «Алгоритм числовой стены: кулинарная книга LFSR» в журнале Journal of Integer Sequences 4 (2001), № 1, 01.1.1. https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/...

Также ознакомьтесь со статьей Фреда «Последовательность пагоды: путешествие по линейной сложности, числовым стенам, последовательностям D0L, конечным автоматам и апериодическим мозаикам» в журнале «Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science» 1 (2009), 130–148. https://arxiv.org/abs/0906.3286. Среди прочего, здесь много красивых иллюстраций :)

В знаменитой «Книге чисел» Конвея и Гая есть глава, посвящённая числовым стенам. Именно там я впервые узнал о числовых стенах. К сожалению, рисунок 3.24 на странице 88, описывающий правило подковы, полон опечаток. Будьте внимательны:
1. (формулы справа) Изменить знаки на отрицательные при w_l/w и e_l/e ;
2. (диаграмма слева) Стрелка, направленная влево, отсутствует на краю, обозначенном w_2;

3. Последний ряд стрелок имеет метки «s_3» ... «s_2» ... «s_1», которые должны быть «s_1» ... «s_2» ... «s_3».

Другие статьи/книги для ознакомления, если вам действительно интересно:
https://tinyurl.com/bdhyzscw
https://core.ac.uk/download/pdf/82737...
Яцек Гилевич, Approximants de Padé, Springer Lecture Notes in Mathematics 667 (1978).

Страница Wiki о линейной рекуррентности с постоянными коэффициентами — хороший ресурс для изучения того, как характеристический многочлен последовательности преобразуется в «правило функции»

https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_...

Задача по программированию
Создайте онлайн-реализацию алгоритма «числовой стены» с использованием определителей или, в идеале, правил «креста» и «подковы» и сделайте пару интересных вещей с вашей программой. Вот несколько идей, с которыми вы могли бы поэкспериментировать: 1. Сгенерируйте изображения окон чётных чисел (или, в более общем смысле, по модулю p) случайных целочисленных последовательностей или последовательностей, взятых отсюда https://oeis.org/. 2. Исследуйте стену чисел последовательности «Пагода», снова используя модули различных простых чисел. Вот запись об этой последовательности в онлайн-энциклопедии целых чисел https://tinyurl.com/yc45cfvf 3. Вдохновляйтесь примерами из этой статьи https://arxiv.org/abs/0906.3286 Пришлите мне ссылку на ваше приложение до выхода следующего видео Mathologer, и я приму участие в розыгрыше книги Марти «Сложить два и два» :)

Исследовательская задача
Докажите гипотезу о стене последовательности «Пагода» или найдите контрпример.

Отчёт об ошибке
В видео я говорю, что вычислить правило множителей легко. Это верно только для окон из нулей чётных размеров. Показать, что для окон нечётных размеров в правиле множителей есть -1 справа, на самом деле довольно сложно. Подробности в первой статье Фреда Ланнона, указанной выше.

Музыка дня: «Asturias» Исаака Альбениса в исполнении Guitar Classics и «Taiyo (Sun)» Юхи (Evening Sun).
Футболка дня: «Да, я всегда прав». Если хотите купить футболку, просто наберите в Google «Да, я всегда прав, математика, футболка» и выберите понравившийся вариант.

Приятного просмотра!

Буркард