تمرين في

هذا التمرين من سلسلة تمارين في وحدة الجبر 1 لمستوى السنة الاولى جامعي لمختلف المعاهد و التخصصات يتضمن إثبات ان تطبيق #متباين و #غامر و #تقابلي و تعيين #التطبيق_العكسي له
فيما يلي شرح واضح ومبسّط للأنواع الأربعة من التطبيقات (الدوال) في الرياضيات:
التطبيق المتباين، الغامر، التقابلي، والعكسي.


---

🔹 1. التطبيق المتباين (Injection – تطبيق أحادي)

يسمّى أيضًا تطبيق واحد لواحد.

التعريف:
الـتطبيق يكون متباينًا إذا كان:

f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2

أي لا يوجد عنصران مختلفان في A لهما نفس الصورة في B.

مثال:

هذا التطبيق متباين لأن لكل مدخل قيمة صورة مختلفة.


---

🔹 2. التطبيق الغامر (Surjection – تطبيق على)

يسمى أيضًا تطبيق شامل أو تطبيق على المجموعة B.

التعريف:
يكون غامرًا إذا كان:

\forall y \in B,\ \exists x \in A: f(x) = y

أي كل عنصر في B له على الأقل أصل واحد في A.

مثال:
التطبيق من
غامر لأن كل عدد حقيقي يمكن كتابة مكعب عدد حقيقي.


---

🔹 3. التطبيق التقابلي (Bijection – تطبيق تقابلي أو تبايني/غامر معًا)

التعريف:
التطبيق تقابلي إذا كان متباينًا وغامرًا في نفس الوقت.

→ كل عنصر في A يقابل عنصرًا واحدًا في B
→ وكل عنصر في B له أصل واحد في A

النتيجة:
التطبيق التقابلي يسمح بوجود علاقة واحد مقابل واحد بين عناصر A و B.

مثال:
التطبيق من
تقابلي.


---

🔹 4. التطبيق العكسي (Inverse Function – الدالة العكسية)

التطبيق العكسي لا يوجد إلا إذا كان التطبيق تقابليًا.

إذا كان تقابليًا، فإنّ له تطبيقًا معكوسًا:

f^{-1} : B \to A

ويحقق:

f^{-1}(f(x)) = x \quad \text{و} \quad f(f^{-1}(y)) = y

مثال:
إذا كان:

f(x) = 3x - 1

فالعكس هو:

f^{-1}(y) = \frac{y + 1}{3}


---

🔥 خلاصة سريعة

النوع المعنى الشرط الرئيسي

متباين (Injection) لا صورتين متطابقتين لعناصر مختلفة كل عنصر في A لديه صورة مختلفة
غامر (Surjection) يغطي كل عناصر B كل عنصر في B له أصل
تقابلي (Bijection) واحد لواحد وعلى متباين + غامر
عكسي (Inverse) دالة ترجع للأصل يوجد فقط إذا كان التطبيق تقابليًا