Limites de fonctions et asymptotes avec un tableau de variations.

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Dans cet exercice, je vous propose le tableau de variations d'une fonction.

Question 1: Déterminer le de domaine de définition de la fonction f.

Très simple, on voit qu'il y'a des doubles barres en -5 et 7, cela veut dire que -5 et 7 sont des valeurs interdites. Autrement dit, ces deux valeurs n'admettent pas d'images par la fonction f. Le domaine de définition est don l’ensemble des nombres réels privés des nombres -5 et 7.

Question 2: Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition.

Par simple lecture du tableau de variations, on lit:
Limite en - infini = + infini
Limite en -5 par valeurs inférieures à -5 = - infini
Limite en -5 par valeurs supérieures à -5 = - infini
Limite en 7 par valeurs inférieures à 7 = - infini
Limite en 7 par valeurs supérieures à 7 = - infini
Limite en + infini = 5

Question 3: Interprétation graphique des limites.

Limite en - infini = + infini
Pas d'asymptote horizontale en - infini.

Limite en -5 par valeurs inférieures à -5 = - infini
Limite en -5 par valeurs supérieures à -5 = - infini
Asymptote verticale d'équation x=-5.

Limite en 7 par valeurs inférieures à 7 = - infini
Limite en 7 par valeurs supérieures à 7 = - infini
Asymptote verticale d'équation x=7.

Limite en + infini = 5
Asymptote horizontale en + infini d'équation y=5.

Question 4: Existe t il des tangentes horizontales?

Il ne faut pas confondre la notion de tangente horizontale avec la notion d'asymptote horizontale. Une courbe admet une tangente horizontale en un point si la fonction dérivée f' s'annule.
Ici le dérivée f' s'annule en x=2 en changeant de signes. La courbe admet donc une tangente horizontale en x=2. Il s'agit ici d'un maximum.

Question 5: Tracer la courbe représentative.
Il faut ici penser à faire apparaître toutes les infos des questions précédentes. Les asymptotes verticales d'équations x=-5 et x=7. L'asymptote horizontale en + infini d'équation y=5.
La tangente horizontale en x=2.