Фибрилляция Хопфа объяснена лучше, чем Эрик Вайнштейн в интервью Джо Рогану

Топология расслоений Хопфа преподаётся максимально просто. Физик Роджер Пенроуз назвал расслоение Хопфа «элементом архитектуры нашего мира». Слоение Хопфа, необходимое как минимум в восьми различных приложениях физики, представляет собой отображение гиперсферы в четырёхмерном пространстве на сферу в трёхмерном. Здесь представлено множество визуализаций. Математик Эрик Вайнштейн прокомментировал эту структуру в подкасте Джо Рогана: «Самый важный объект во всей Вселенной».

Patreon   / carlosfarias  

Главы
0:00 Введение
1:08 Определение расслоения Хопфа
1:42 Стереографическая проекция
3:24 Картографирование расслоения Хопфа
5:33 Факты о Хопфе
7:11 Вращение в 4D
8:30 Стереограмма трёхмерного магического глаза
Полная версия «Магического глаза» от Хеннигана (2014):    • Hopf Fibration Stereogram (Divergent)  

Если вы ещё не знакомы с многомерными фигурами, рекомендуем сначала посмотреть моё видео, объясняющее четырёхмерный гиперкуб, известный как тессеракт:
   • 4th Dimension Explained ► Tesseract Hyperc...  

Первоначальный план этого видео был более 25 минут, поэтому для краткости я сократил детали n-сфер. Включая сюда для интересующихся:

S0 0-сфера | Пара точек | Ограничена линиями
S1 1-сфера | Окружность | Ограничена парами точек (S0)
S2 2-сфера | Сфера | Ограничена окружностями (S1)
S3 3-сфера | Гиперсфера | Ограничена сферами (S2)

Итак, пара точек на концах одномерного отрезка считается 0-сферой, или S0. Это сложно представить, но прямая линия — это дуга окружности с бесконечным радиусом.

Теперь окружность ограничена этими парами точек. Мы говорим, что окружность — это S1, или 1-сфера, находящаяся в двумерном пространстве.

Сфера ограничена окружностями. Мы говорим, что сфера — это S2, или 2-сфера, находящаяся в трёхмерном пространстве.

Вы, вероятно, заметили здесь важную закономерность. Каждая из этих структур находится на одно измерение ниже евклидова пространства, в которое они погружены. Это связано с тем, что нас интересуют только границы каждой фигуры.

Таким образом, для круга мы рассматриваем только одномерную окружность. Таким образом, S1.
Для сферы поверхность на самом деле двумерна. Таким образом, S2.

Теперь мы выходим за пределы человеческого восприятия.

Гиперсфера ограничена сферами. Мы говорим, что гиперсфера — это S3, или трёхмерная сфера, находящаяся в четырёхмерном пространстве. Технически это невозможно визуализировать.

На 2:58 я включил две визуализации гиперсферы. Первая — это тень каркасной поверхности гиперсферы, спроецированная в трёхмерном пространстве. Идеальная модель была бы непрозрачным объектом, поэтому эта клетка даёт представление о гиперсфере, состоящей из сфер. Вторая — это тщательно отполированная версия с несколькими видимыми вершинами. Ни одна из версий не идеальна, но они — ближайшие конкуренты картам Хопфа:

https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi...
Seemann (2017) https://vimeo.com/210631891

🚩 Предупреждение для ботаников 🚩
Интерактивный визуализатор карт Хопфа от Нико Бельмонте (@philogb)
http://philogb.github.io/page/hopf/#

Читайте эту статью о более чем 8 приложениях физики
https://www.fuw.edu.pl/~suszek/pdf/Ur...

🚾 Цитируемые работы
http://dimensions-math.org/ Серия «Измерения» Джоса Лейса
   / josleys  

Найлс Джонсон (2011), www.nilesjohnson.net
   • Hopf fibration -- fibers and base  

Гвидо Вуги, Wugi's 4D World Series (2020)
   • Wugi's 4D world- The 3-sphere and its best...  

Джо Роган: Опыт № 1203 (2018) | Эрик Вайнштейн

Хенниган (2013)    • Hopf Fibration  

Дрор Бар-Натан
http://www.math.toronto.edu/~drorbn/G...

Азади (2020)    • Hopf Flower  

Ройс Нельсон http://roice3.org/h3/isometries/

https://www.joerg-enderlein.de/stereo...

3Blue1Brown (2018): Визуализация кватернионов (четырёхмерных чисел) с помощью стереографической проекции    • Visualizing the 4d numbers Quaternions  

WBlut (2020) https://wblut.com/images/hopf-tubes-a...

Non-Euclidean Dreamer (2019)    • Train Ride through the Hopf Fibratiom - Nr...  

🚨 Юридическая информация
Отказ от авторских прав в соответствии со статьей 107 Закона об авторском праве 1976 года допускает «добросовестное использование» в таких целях, как критика, комментарии, репортажи, преподавание, научная работа, образование и исследования. Добросовестное использование — это использование, разрешенное законом об авторском праве, которое в противном случае могло бы нарушать авторские права. Здесь не заявлены авторские права, и в той мере, в которой может показаться, что материал нарушается, я утверждаю, что такое предполагаемое нарушение допустимо в соответствии с принципами добросовестного использования, предусмотренными законодательством США об авторском праве. Контент может быть изменен.

🚀 Что это за канал?
Исследуем истину в философии, науке и искусстве.

Мы рассмотрим концепции из психологии, мифологии, духовности, литературы, медиа и других областей. Если вам нравятся Лекс Фридман или Курт Джаймунгал, вам понравится этот образовательный ка...