Giuseppe Rosolini - La logica moderna1 La crisi dei fondamenti e la nascita dalla logica matematica

A marzo 2023 Giuseppe Rosolini dell'Università di Genova ha presentato quattro seminari divulgativi sul tema "La logica moderna".

Presentiamo qui la serie completa dei seminari.

15 marzo: La crisi dei fondamenti e la nascita dalla logica matematica

Sommario: I seminari del 15 e 16 marzo esordiranno con un inquadramento storico sulla crisi dei fondamenti (le geometrie non-euclidee, il successo della geometria iperbolica, i paradossi insiemistici), le proposte di Hilbert e di Brouwer, per esaminare quindi alcune delle questioni poste da Hilbert per il suo programma:
1) Ammesso che il ragionamento matematico sia finito, dimostrare con metodi finiti che la matematica è coerente.
2) Dimostrare che la teoria degli insiemi è coerente.
3) Dimostrare l'ipotesi del continuo.
4) Produrre un algoritmo che decide quali equazioni diofantee hanno soluzioni.
5) Produrre un algoritmo che decide quali affermazioni matematiche sono vere.

Le risposte sono state tutte negative. Percorreremo i risultati di Gödel, di Turing, di Cohen, Scott e Solovay, e di Bowman–Robinson, Matjiasevic, mostrando in modo esplicito come certe costruzioni matematiche impediscono la realizzazione del programma auspicato da Hilbert, ma al contempo mostrano le basi di quel nuovo panorama matematico che diventerà l'informatica.

A seguire, si affronta la teoria delle funzioni matematiche che gestiscono tutti i risultati elencati: le funzioni calcolabili. Vengono introdotte mediante tre differenti approcci (quello di Gödel, quello di Turing, quello di Bowman–Matjiasevic). Le funzioni calcolabili offrono un banco di prova molto semplice ed elementare per approfondire l'intuizione sulle funzioni in generale; si sfrutta questo e si sviluppano in dettaglio molti esempi di funzioni calcolabili per accquisire dimestichezza con la teoria fondamentale della matematica e giungere al Teorema di Caratterizzazione (Ognuna delle tre definizioni determina lo stesso concetto di funzione aritmetica).