Ferenci Tamás - Gumiszalagok és galaxisok: távolságmérés egy táguló Univerzumban

A James Webb űrtávcső 2022 szeptemberében felfedezett egy új galaxist, melyről hamar kiderült, hogy van egy fontos nevezetessége: ez a valaha észlelt Földünktől legtávolabbi objektum. (Ezt a rekordot egyébként a mai napig tartja.) A híradások szerint a távolsága tőlünk kb. 33 milliárd fényév. Ám ezen a ponton az ember eszébe juthat egy zavaró gondolat: ugyanazon kozmológiai modellünk szerint, melyben ezt a távolságot számolták, az Univerzum életkora 13,8 milliárd év. Na mármost ha valami 33 milliárd fényévre van tőlünk, az - definíció szerint - azt jelenti, hogy a fény 33 milliárd év alatt jut el tőle hozzánk. De akkor hogyan érhetett el ide a fénye (márpedig egy távcső észlelte, tehát ideért) úgy, hogy erre legfeljebb 13,8 milliárd éve volt...?

A helyzet megértéséhez egy első látásra nem épp idevágó példával fogunk kezdeni. Egy hangya mászik egy 1 méter hosszú gumiszalagon 1 cm/s sebességgel. El fogja érni a végét? Ez eddig könnyű: persze, 100 másodperc alatt. Most csavarjunk egyet a történeten: miközben a hangya mászik 1 cm/s sebességgel, a szalag végét elkezdjük 1 m/s (tehát 100-szor nagyobb!) sebességgel húzni, egyenletesen nyújtva az egész szalagot. Így is el fogja érni a végét? Nagyon sok rávágnák: dehogy, hiszen 100-szor gyorsabban nyújtjuk a szalagot, mint ahogy a hangya mászni tud rajta. Azonban ki fog derülni, hogy a helyzet ennél bonyolultabb...

A feladat megoldása egész meglepő, ezért saját jogán is érdekes, ráadásul nagyon jó intuíciót ad az eredeti probléma megértéshez is. A dolog azért is fontos, mert az a mögötti kérdéskör nem egyszerű, és sok egyszerűsítés amit gyakran használnak, akár még tudományos ismeretterjesztő írásokban is, valójában inkább félrevezető. Ezzel szemben a fenti feladat modellje - noha szintén egyszerűsítés olyan értelemben, hogy középiskolás matematikával is kezelhető - mégis helyes képet sugall, ha pedig egyetemi szintű matematikát ereszt rá az ember, akkor egy sor mélyebb réteg is feltárható vele.

Ezt fogjuk most megtenni, közben rengeteg témát érintve a harmonikus soroktól az Euler-Mascheroni állandón át differenciálegyenletek megoldásáig integráló tényezővel, látunk többféle megoldási módszert, általánosítjuk a problémát, definiálunk új paramétereket skálafaktortól a Hubble-állandóig, és a végén még a kozmológiára is kitérünk egy kicsit.

Tartalomjegyzék

0:00:00 Problémafelvetés: a 33 milliárd fényévre lévő galaxis
0:04:16 A 'hangya a gumiszalagon' feladat
0:13:55 A feladat megoldása diszkretizálással
0:19:40 A harmonikus sor divergens
0:26:21 Alsó korlát a harmonikus számokra
0:33:45 Javított korlátok a harmonikus számokra
0:49:24 Az Euler-Mascheroni állandó
0:56:04 Az általános megoldás diszkrét időben
1:05:17 Általánosítás: nem egyenletesen nyúló szalag
1:12:27 A feladat felírása folytonos időben
1:20:20 A feladat megoldása: az integráló tényező módszere
1:33:26 A megoldás néhány jellemzője
1:39:57 Általánosítás tetszőlegesen nyúló szalagra
1:56:09 Egy alternatív megoldási lehetőség
2:03:45 Az együttmozgó távolság fogalma
2:05:42 Skálafaktor, konformális idő és a Hubble-paraméter
2:18:49 További általánosítási lehetőségek
2:20:43 Hangyák a gumiszalagon és a kozmológia

Irodalomjegyzék

• Gardner könyve a diszkretizálásos megoldással: Martin Gardner. Aha! Gotcha. Paradoxes to Puzzle and Delight. 1982. 145-146. oldal.
• Alapos cikk a problémáról és pár általánosítási lehetőségről: McCartney, Mark. "Extending the rubber rope: convergent series, divergent series and the integrating factor." International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 44.4 (2013): 554-559. - https://www.tandfonline.com/doi/full/...
• A feladatot és megoldását alaposan körbejáró könyv: Pramod Ganapathi: Mathematical and Algorithmic Puzzles. 2023 - https://play.google.com/books/reader?...
• A harmonikus számokra nincs zárt alakú formula: Karr, Michael. "Summation in finite terms." Journal of the ACM (JACM) 28.2 (1981): 305-350. - https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/32...
• Sztochasztikus általánosítás: Hsiao, Ting-Yang. "The Ant on a Rubber Rope Paradox." arXiv preprint arXiv:2101.03890 (2020). - https://arxiv.org/abs/2101.03890
• Magyar nyelvű összefoglaló cikk a gyakori kozmológiai félreértésekről: Lőrincz Henrik. "Értjük-e a táguló Univerzumot? – Még látom, de már el nem érhetem". Természet Világa 150.6 (2019). - https://termvil.hu/2020/01/17/ertjuk-...
• Hosszabb cikk ugyanezekről a kérdésekről: Lineweaver, Charles H., Tamara M. Davis. "Misconceptions about the big bang." Scientific American 292.3 (2005): 36-45. - https://www.scientificamerican.com/ar...
• Még hosszabban és alaposabban: Davis, Tamara M., Charles H. Lineweaver. "Expanding confusion: common misconceptions of cosmological horizons and the superluminal expansion of the universe." Publications of the Astronomical Society of Australia 21.1 (2004): 97-109. - https://www.publish.csiro.au/as/AS03040