Почему тригонометрические функции появляются в формуле Эйлера?

Почему тригонометрические функции появляются в формуле Эйлера? Именно этот вопрос возник у меня, когда я впервые увидел формулу Эйлера. Эта связь между тригонометрией и показателями степеней кажется такой неожиданной, особенно в сочетании с комплексными числами. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно погрузиться в сложную и красивую математическую взаимосвязь между тригонометрическими функциями, ε и комплексными числами. Мы рассмотрим два разных подхода к этому вопросу: один — с использованием динамики, геометрии и комплексной плоскости, а другой — с использованием рядов Тейлора и Маклорена. Оба подхода одинаково увлекательны и оба приводят к одному и тому же удивительному результату, используя множество красивых математических формул.

0:00 — Введение
0:38 — Метод единичной окружности на комплексной плоскости
7:30 — Метод рядов Тейлора и Маклорена
12:39 — Заключение

Дополнительные ресурсы:
Геометрическое доказательство производных sin(x) и cos(x)
https://ocw.mit.edu/courses/mathemati...

Анимации созданы с помощью Manim — программы для анимации на Python с открытым исходным кодом, разработанной 3Blue1Brown.
https://github.com/3b1b/manim

Это видео было отправлено на SoME (Summer of Math Exposition) от 3Blue1Brown.
https://3b1b.co/some1