Сходится или расходится?

Всякому ясно, что ряды sin(n)/n и cos(n)/n сходятся условно. Но вот сходятся ли они абсолютно? Этот вопрос сутки не давал мне покоя. Но внезапно, как молния, меня пронзила догадка: они сходятся условно, но не абсолютно! То же можно сказать и про такие ряды как sin^2(n)/n. С последним рядом все вообще очень просто: среднее значение sin^2(n) стремится к 1/2, а значит ряд расходится «в 2 раза медленнее», чем гармонический. Ряды sin(n)/n и cos(n)/n расходятся быстрее, так как средние значения sin(n) и cos(n) стремятся к 2/пи. Вообще, очевидно, что ряд sin^а(n)/n расходится при любом а. Что же касается до ряда sin^n(n)/n, то тут уже все не так просто. Сначала мне показалось вполне очевидным, что он должен сходиться. Я даже допускал возможность, что сходится ряд sin^n(n). Но еще немного пораскинув умом, я сообразил, что sin(n), хотя и не может быть в точности равен ±1, но может сколь угодно мало от них отличаться. Пусть для некоторого n
sin(n) = 1 — ε,
где ε — как угодно малое положительное число. Тогда, если ε будет одного порядка малости с 1/n, то
sin^n(n) = (1 — ε)^n ≈ (1 — 1/n)^n → 1/e
Таким образом, sin^n(n) должен принимать конечные значения при бесконечно большом числе значений n. А раз так, то соответствующий ряд должен расходиться. Но вот с рядом sin^n(n)/n уже все не так однозначно. Если конечные значения sin^n(n) будут появляться с примерно постоянной частотой, то ряд, несомненно, будет расходиться. (Компьютерный перебор показывает, что они появляются с завидной периодичностью. Впрочем, при подобных вычислениях доверия к питону довольно мало, в таких случаях там быстро нарастает погрешность.) Но вот если конечные значения sin^n(n) будут появляться все реже и реже, то наш ряд будет сильно напоминать истонченный гармонический ряд, который, как известно, сходится.
Кстати, по ходу дела я заметил, что sin(11) ≈ -0,9999902, что удивительно близко к -1. Не странно ли? Но вы ведь хорошо знаете, что пи ≈ 22/7, откуда 11 ≈ 7пи/2, чем и объясняется изумительная близость sin(11) к -1.

Поддержать канал:

Сбербанк:
4817 7600 7072 6454

Почта Банк:
2200 7702 5595 7682

Яндекс Деньги:
https://money.yandex.ru/to/4100110572...

ВТС:
1DimaeQ4DTk5mNLsShNqnCYpe2pDu1Gihf

DASH:
XdimonuW12MhgM6qq425WseraKbEwpQdf3

MONERO:
42iadV4NaTvWh9JuK4EVKdh1jPHExftG8dQh3jHnEnBjeAcD445xfJxDXSpTiA5LRWMAfXiQ17kaw7UxuerjXnQmQY9uy9e

DOGECOIN:
DDimonNctcjxGTTp78KUsf2ZrjbhN1mJw5