Приложения двойных интегралов, многомерное исчисление

Мы рассмотрим три применения интегрирования функций вида z=f(x,y) по областям в плоскости (x,y): (1) вычисление площади, (2) вычисление среднего значения и (3) вычисление центра масс. Многомерное исчисление, Модуль 4, Лекция 4

Начнём с иллюстрации вычисления площади с помощью двойных интегралов. Напомним из одномерного исчисления, что интегрирование 𝑓(𝑥) = 1 по [𝑎,𝑏] можно рассматривать как вычисление ширины интервала [𝑎,𝑏], поскольку результат равен b-a.

Распространяя эту идею на двойные интегралы, интегрирование 𝑓(𝑥,𝑦) = 1 по прямоугольнику, заданному соотношениями 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 и 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, даёт площадь прямоугольника: (𝑑−𝑐)(𝑏−𝑎).

На основе этого можно вычислить площади более сложных фигур, таких как треугольники и замкнутые круги. Для треугольника интегрирование 1 по треугольной области даёт его площадь. Для замкнутого круга радиуса 𝑅 интегральная схема больше подходит для полярных координат и будет рассмотрена в другом уроке (в Модуле 5). Однако концептуально результатом такого интегрирования будет 𝜋𝑅^2, площадь круга.

Понятие среднего значения, которое вы, возможно, встречали для 𝑦=𝑓(𝑥) в исчислении с одной переменной,
𝑓_{ave} = 1/(𝑏−𝑎)⋅ ∫_𝑏^𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, можно распространить на функции 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) в двумерных областях. Среднее значение функции в области 𝐷 в плоскости 𝑥𝑦 — это интеграл от функции по области, делённый на её площадь. Используя наши знания о площадях, которые мы только что изучили, получим: 𝑓_{ave} = ∬_𝐷 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑑𝐴 ⋅ Площадь 𝐷 = ∬_𝐷𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥 /∬_𝐷 1 𝑑𝐴.

Иногда 𝐷 будет случайной областью типа 1 или 2, и вам может потребоваться вычислить этот знаменатель, но в других случаях вы можете распознать 𝐷 как известную геометрическую фигуру, площадь которой вам уже известна. В этом случае нет необходимости вычислять её явно!

Это среднее значение представляет собой высоту, которая, умноженная на площадь области, равна интегралу от функции

Центр масс плоской пластины, особенно если она имеет неоднородную плотность, является ключевым понятием в физике. Центр масс — это точка, в которой пластина может быть идеально сбалансирована (хотя он не обязательно должен быть частью пластины — например, если пластина имеет кольцевую/бубликовую форму).

Чтобы найти эту точку, сначала необходимо вычислить массу пластины и её моменты относительно осей 𝑥 и 𝑦.

Масса (𝑀) пластины вычисляется как интеграл от функции плотности (𝜎(𝑥,𝑦)) по области 𝐷. Для этого требуется составить и решить двойной интеграл. Моменты 𝑀𝑥 и 𝑀𝑦 вычисляются аналогично, но с дополнительным множителем 𝑥 (для 𝑀𝑦) и 𝑦 (для 𝑀𝑥) внутри интеграла, учитывающим смещение каждого элемента массы относительно соответствующей оси:

Координаты центра масс определяются формулами X = 𝑀𝑦/𝑀 и Y = 𝑀𝑥/𝑀. Это вычисление фактически находит средние координаты x и y распределения масс.

Если вы закончите пример из лекции, вы должны обнаружить, что координаты центра масс равны (279/85, 117/85).

#calculus3 #двойныеинтегралы #интегральноеисчисление #многомерноеисчисление #среднеезначение #центрмасс #iitjammathematics #математика #математическийруководство