Exponentialfunktion - Eigenschaften und Grafik || StrandMathe || Oberstufe ★ Übung 1

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Exponentialfunktion - Eigenschaften und Grafik

Viele Vorgänge in Bezug auf Wachstum und Zerfall lassen sich durch Exponentialfunktionen beschreiben. Diese besitzen die allgemeine Form:
Nimmt die Basis a einen Wert zwischen 0 und 1 an, entsteht eine Zerfallsfunktion. Bei a größer 1 ergibt sich eine Wachstumsfunktion.
Den Parameter c bezeichnet man als Grundwert. Graphisch bildet dieser Wert den y-Achsenabschnitt.
Zeichne die Funktion f(x)=2^x in ein Koordinatensystem. Zeichne in dasselbe eine Funktion h(x), bei der sich der Funktionswert mit jedem Schritt halbiert. Vergleiche die beiden Funktionen. Wie sieht eine Funktion g(x)=c∙f(x) aus, wenn der Parameter c=1,5 beträgt.

Bei der Funktion f(x)=2^x handelt es sich um eine Exponentialfunktion mit der Basis
a=2. Bei jedem Schritt wird der vorherige Funktionswert verdoppelt. Eine Funktion h(x), bei der sich der Funktionswert mit jedem Schritt halbieren soll, lautet dementsprechend h(x)=〖0,5〗^x.

Diese beiden Funktionen kannst du nun in einem gemeinsamen Koordinatensystem darstellen.

Vergleicht man die Funktionen f(x) und h(x), erkennt man, dass sie genau entgegengesetzt verlaufen bzw. an der y-Achse gespiegelt sind. Bei f(x) handelt es sich um eine Wachstumsfunktion, da die Basis a=2 und somit a größer 1 ist. Die Funktion h(x) mit der Basis a=0,5 ist eine Zerfallsfunktion, da 0 kleiner a kleiner 1 gilt.

Betrachtest du die Funktion, so werden alle Funktionswerte mit dem konstanten Faktor 1,5 multipliziert.

Beachte: Besitzt eine Exponentialfunktionen einen negativen Exponenten, so verhält sich die Funktion gemäß der Potenzrechengesetze:

Für die Zerfallsfunktion h(x) lässt sich zum Beispiel auch schreiben:

„Zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen werden Exponentialfunktionen verwendet. Um Funktionsgleichungen herzuleiten, müssen sowohl Potenz- als auch Logarithmusrechengesetze angewandt werden.“

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