Задача №255 [НЕДЕТСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ #1]

Канал Юры Маркелова --    / @yuriimarkelov  
Интервью "Юра Ищет Призвание" --    • ЮРА ИЩЕТ ПРИЗВАНИЕ  

Youtube-канал Ассоциации Победителей Олимпиад --    / @apo_rf  
ВК-группа АПО по математике -- https://vk.com/olymp_maths

Сообщество "Олимпиадная геометрия":
ВК -- https://vk.com/olympgeom
Telegram -- https://t.me/olympgeom
YouTube --    / olympiadgeometry  

Каналы со школьной простой геометрией:
Геометрия с нуля --    / @Геометрияснуля  
Школково --    / @shkolkovo  

Решения можно писать в комментарии или на почту [email protected].
Задачи:

EASY - (Олимпиада им. Шарыгина, заочный тур, 2009. Автор: Владимир Протасов) Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно. Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания со вписанной окружностью.

MEDIUM - (Санкт-Петербургская математическая олимпиада, 1999. Автор: Фёдор Бахарев). В неравнобедренном треугольнике АВС проведены биссектрисы AA1 и CC1 , кроме того, отмечены середины К и L сторон АВ и ВС соответственно. Точка Р – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на прямую CC1 , а точка Q – основание перпендикуляра, опущенного из вершины С на прямую AA1 . Докажите, что прямые КР и LQ пересекаются на стороне АС. 

HARD - (Задача M12165 из журнала American Mathematical Monthly. Авторы: Tran Quang Hung и Nguyen Minh Ha (Вьетнам)) Пусть MNPQ — прямоугольник с центром K, вписанный в треугольник ABC так, что точки N и P лежат на сторонах AB и AC соответственно, в то время как M и Q лежат на BC. Вписанная окружность △BMN касается BM в точке S и BN в F, вписанная окружность △CQP касается CQ в T и CP в E. Пусть L — точка пересечения линий FS и ET. Докажите, что KL делит пополам отрезок ST.

🎯 Поддержать популяризацию математики на Патреоне:   / savvateev  

Наши ресурсы: https://vk.com/alexei_savvateev   / aleksey_savvateev     / savvatan   https://savvateev.livejournal.com https://savvateev.xyz https://t.me/savvateev_xyz