Γ Λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης 1.2 και 1,3 Συναρτήσεις 1ο μέρος

Γ Λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης μπαίνουμε στις συναρτήσεις οι οποίες είναι πολύ βασικές για όλη τη συνέχεια.
Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο
ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x A ∈ αντι-
στοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x
και συμβολίζεται με f(x)
Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μετα-
βλητή, ενώ το γράμμα y, που παριστάνει την τιμή της f στο x, λέγεται εξαρτημένη
μεταβλητή.
— Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f συνήθως συμβολίζεται με D
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο
επίπεδο. Το σύνολο των σημείων Μ(x, y) για τα οποία ισχύει y = f (x), δηλαδή το σύνολο
των σημείων Μ(x, f(x)), x A ∈ , λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται
συνήθως με Cf . Η εξίσωση, λοιπόν, y = f (x) επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της Cf .
Επομένως, η y = f (x) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.
Όταν δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, τότε:
α) Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της Cf .
β) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f (A) των τεταγμένων των σημείων της Cf
Η γραφική παράστασης της συνάρτησης
– f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα
x′x, της γραφικής παράστασης της f, γιατί
αποτελείται από τα σημεία Μ′(x, – f (x))
που είναι συμμετρικά των Μ(x, f (x)), ως
προς τον άξονα x′x
Η γραφική παράσταση της | | f αποτε-
λείται από τα τμήματα της Cf που βρί-
σκονται πάνω από τον άξονα x′x και από
τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα x′x,
των τμημάτων της Cf που βρίσκονται
κάτω από τον άξονα αυτόν
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν:
● έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
● για κάθε x A ∈ ισχύει f(x) = g(x)
Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε
σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με g f  , τη συνάρτηση με τύπο
(g0f(x)=gf(x)
Μια συνάρτηση f λέγεται(1):
● γνησίως αύξουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποια-
δήποτε x x 1 2 , ∈ Δ με x1 μικροτερο του x2 ισχύει:
f(x1) μικροτερο του f(x2) (
● γνησίως φθίνουσα σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για
οποιαδήποτε x x 1 2 , ∈ Δ με x1 μικροτερο του x2 ισχύει:
f(x1) μεγαλυτερο του f(x2)
Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του
πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Στην περίπτωση
που το πεδίο ορισμού της f είναι ένα διάστημα Δ και η f είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό,
τότε θα λέμε, απλώς, ότι η f είναι γνησίως μονότονη
Μια συνάρτηση f : A → R λέγεται συνάρτηση 1–1, όταν για οποιαδήποτε x x 1 2 , ∈ A
ισχύει η συνεπαγωγή:
αν x x
1 2 ≠ , τότε f ( ) x f 1 2 ≠ ( ) x .
Μια συνάρτηση f : A → R είναι συνάρτηση 1–1, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε
x x A
1 2 , ∈ ισχύει η συνεπαγωγή:
αν f(x1) = f(x2), τότε x1 = x2
Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση
f είναι 1–1, αν και μόνο αν:
� Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση
ως προς x.
� Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αυτό
σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε
ένα σημείο
Οι γραφικές παραστάσεις C και C′ των συναρτήσεων f και f –1 είναι συμμετρικές ως
προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x′Oy′.