O PARADOXO QUE FAZ 1 VIRAR 2! Banach–Tarski

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E se eu dissesse que, em matemática, é possível pegar uma esfera, cortá-la em pedaços e remontar duas esferas idênticas à original? Em outras palavras, transformar um em dois. Parece impossível? Parece até mágica? Pois é justamente isso que afirma o famoso paradoxo de Banach-Tarski, um resultado matemático tão estranho que já assustou até o Conselho Internacional do Ouro, que temia um colapso da economia mundial. Hoje no Ciência News, vamos explicar como funciona essa ideia que desafia nossa intuição — e por que você não vai sair daqui criando ouro infinito.

Tudo começou em 1989, quando o matemático A.K. Dewdney publicou uma coluna dizendo que um certo Arlo Lipof havia descoberto uma maneira de criar ouro a partir do nada, usando o paradoxo de Banach-Tarski. A notícia deixou o Conselho Internacional do Ouro em pânico. Mas calma: era apenas uma pegadinha de 1º de abril. “Arlo Lipof”, na verdade, é um anagrama de April Fool. Só que o paradoxo é real — e ele realmente diz que é possível duplicar uma esfera perfeita apenas dividindo e reorganizando pontos matemáticos.

O paradoxo de Banach-Tarski, formulado em 1924, mostra que uma esfera pode ser decomposta em um número finito de pedaços, que depois podem ser rearranjados para formar duas esferas exatamente iguais à original, em tamanho e volume. É tão contraintuitivo que já foi resumido assim: é possível cortar uma ervilha em alguns pedaços e remontá-la para formar uma bola do tamanho do Sol. Isso, claro, dentro do reino da matemática pura.

Para entender esse absurdo, precisamos falar de infinitos. Galileu já havia notado algo curioso: há tantos números quadrados perfeitos quanto números inteiros. Parece errado — afinal, os quadrados são mais raros — mas no infinito, os dois conjuntos têm o mesmo tamanho, o que chamamos de infinito contável. Agora, existe também o infinito incontável — como o conjunto dos números reais. Esse é ainda maior, porque entre zero e um, por exemplo, cabem infinitos números que nunca terminam. É exatamente com esse tipo de infinito que o paradoxo de Banach-Tarski lida.

Imagine que cada ponto da esfera seja um número real. Usando regras da teoria dos conjuntos e o chamado Axioma da Escolha, é possível dividir todos esses pontos em alguns grupos específicos. Depois, com rotações e rearranjos, esses grupos podem ser reconfigurados de forma a formar duas cópias perfeitas da esfera original. É importante frisar: esses pedaços não são sólidos no sentido físico. Eles são conjuntos de pontos infinitamente fragmentados, impossíveis de visualizar ou representar no mundo real. É matemática pura, trabalhando no limite da abstração.

E aqui está o truque: no mundo físico, átomos são indivisíveis em blocos discretos, e a matéria não pode ser cortada em pedaços infinitamente pequenos. Além disso, as leis da conservação de massa e energia não permitem criar algo do nada. O paradoxo só funciona no universo matemático idealizado, onde uma esfera é um conjunto perfeito de pontos sem limites práticos.

O paradoxo de Banach-Tarski só existe se aceitarmos o Axioma da Escolha — um princípio da matemática que permite selecionar elementos de infinitos conjuntos de forma arbitrária. É uma ferramenta poderosa, mas também controversa, porque nunca foi provada nem refutada: é uma espécie de ato de fé dentro da matemática. Se aceitamos o Axioma da Escolha, temos que aceitar também os paradoxos que vêm com ele.

O paradoxo de Banach-Tarski não vai transformar você em alquimista nem ameaçar a economia mundial. Mas ele é uma janela para algo maior: como o infinito desafia nossa intuição e mostra que a matemática pode ser muito mais estranha do que imaginamos. No fim das contas, talvez a lição seja esta: no mundo físico, um nunca será igual a dois. Mas no mundo das ideias, tudo é possível.


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