Линейная алгебра: основы современной теории управления

В документе представлен обширный обзор взаимосвязи между современной теорией линейного управления и прикладной линейной алгеброй. Доказывается, что первая, по сути, является сложным приложением второй. Эта связь устанавливается посредством представления в пространстве состояний, которое преобразует физические динамические системы в матричные уравнения ($\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}$). Ключевые концепции управления, такие как устойчивость системы, напрямую рассматриваются путём анализа собственных значений системной матрицы $\mathbf{A}$, в то время как управляемость и наблюдаемость определяются путём вычисления ранга связанных матриц. В конечном счёте, документ демонстрирует, что инженерная задача проектирования регулятора (размещение полюсов) строго эквивалентна решению задачи назначения собственных значений в линейной алгебре, иллюстрируя эту концепцию на примерах, таких как активная подвеска транспортного средства и управление роботизированной рукой.