【灘高数学】式を眺めて方針が立つかが勝負

#灘高校 #整数問題 #二次方程式 #入試数学 #発想力

■ 問題

灘高 2000年度

a, b, c は連続する奇数で、0 ＜ a ＜ b ＜ c とする。

3x^2 − 2(2a + b + 4c)x − (4a^2 + b^2 − 4c^2 + 4ab) = 0

この解が 2つとも正の整数のとき、
解 x を求めよ。

■ ポイント

・「連続する奇数」から a, b, c を文字で整理するのが第一手。
・係数をそのまま計算せず、まとめて整理すると劇的に簡単になる。
・二次方程式は「和と積」に注目すると整数条件を確認しやすい。
・灘高らしい「計算力 ＜ 構造理解」の問題。

■ 途中式

連続する奇数より
a = b − 2
c = b + 2

これを代入する。

まず 2a + b + 4c を計算する。

2a + b + 4c
= 2(b − 2) + b + 4(b + 2)
= 2b − 4 + b + 4b + 8
= 7b + 4

次に定数項。

4a^2 + b^2 − 4c^2 + 4ab
= 4(b − 2)^2 + b^2 − 4(b + 2)^2 + 4b(b − 2)

展開すると
= 4(b^2 − 4b + 4) + b^2 − 4(b^2 + 4b + 4) + 4b^2 − 8b
= 4b^2 − 16b + 16 + b^2 − 4b^2 − 16b − 16 + 4b^2 − 8b
= 5b^2 − 40b

よって方程式は

3x^2 − 2(7b + 4)x − (5b^2 − 40b) = 0

整理すると

3x^2 − (14b + 8)x − 5b(b − 8) = 0

解の和と積を考える。

解の和
(14b + 8) / 3

解の積
−5b(b − 8) / 3

これが正の整数 2つになるためには

b = 5

と分かる。

b = 5 のとき

a = 3
c = 7

方程式は

3x^2 − 78x + 75 = 0

両辺を 3 で割る。

x^2 − 26x + 25 = 0

因数分解して

(x − 1)(x − 25) = 0

■ 答え

x = 1, 25

■ 考え方メモ

・「連続する奇数」は a=b−2, c=b+2 と即置くのが鉄則。
・灘高の整数問題は、式を展開する前に「整理できる形」を探すのが重要。
・二次方程式は最後まで解かず、和と積で条件をチェックするのが最短ルート。
・計算量は多そうに見えて、実は構造勝負の美しい問題。


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