Докажите по принципу математической индукции, что (n+1)^4 меньше 10^(n+1)

В этом видео объясняется, как доказать неравенство (n+1)^4 меньше 10^(n+1) для n ≥ 2, используя принцип математической индукции.

Доказательство разбито на три основных этапа:
1. Базовый случай
2. Индуктивный этап
3. Индуктивная гипотеза
4. Заключение

1. Базовый случай: В видео показано, что неравенство верно для наименьшего значения n, которое равно n=2. Когда n=2, (2+1)^4 = 3^4 = 81, и 10^(2+1) = 10^3 = 1000. Поскольку 81 меньше 1000, базовый случай верен.


2. Индукционная гипотеза: Предполагается, что утверждение P(n) истинно для некоторого положительного целого числа n = k, где k ≥ 2. Это означает, что предположение о истинности утверждения (k+1)^4 меньше 10^(k+1) также верно.

3. Индуктивный шаг: Цель здесь — показать, что если P(k) истинно, то P(k+1) также должно быть истинным. Это включает в себя демонстрацию того, что ((k+1)+1)^4 меньше 10^((k+1)+1), или (k+2)^4 10^(k+2). В видеоролике алгебраически преобразуется левая сторона неравенства, используя индукционную гипотезу, чтобы показать, что она действительно меньше правой стороны. Это устанавливает «цикл», доказывающий, что если утверждение истинно для k, то оно истинно и для k+1.

4. Заключение: Успешно выполнив эти три шага, видео приходит к выводу, что неравенство доказано по принципу математической индукции для всех n, больших или равных 2.

Хронология
00:14 - Базовый случай
03:09 - Индуктивный шаг
01:14 - Индукционная гипотеза
08:40 - Заключение