Extremwertprobleme || Oberstufe ★ Übung 2

Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/

Bei Extremwertaufgaben gilt es, einen Sachverhalt mathematisch zu formulieren und durch Funktionsuntersuchungen das Minimum oder Maximum einer gesuchten Größe zu finden.
Dafür stellt man zunächst Gleichungen auf, in denen die Bedingungen festgehalten werden. Dabei können auch mehrere Variablen vorliegen. Durch Umformen bestimmt man eine Zielfunktion, die auf Extremwerte untersucht wird.
Mit Hilfe einer 200 Meter langen Leine sollen drei Seiten eines rechteckigen, überwachten Schwimmbereichs an einem Strandabschnitt markiert werden. Die vierte Seite der Begrenzung ist das Strandufer. Welche Fläche kann maximal eingeschlossen werden?
Um dir das Problem besser vor Augen zu führen, solltest du bei solchen Aufgaben zunächst immer eine Skizze erstellen, sofern diese nicht gegeben ist. In unserem Beispiel siehst du nochmal deutlich, dass die Länge der Leine L als Begrenzung nur durch die zwei kurzen Seiten a und eine lange Seite b zusammengesetzt wird. Aus dieser Information können wir bereits die erste Beziehung für das Problem aufstellen:
L = 200 = 2a + b
Wie bei jedem Rechteck gilt für den Flächeninhalt weiterhin:
A = a ∙ b
Du siehst vermutlich auch, dass wir nun zwei Gleichungen und zwei Variablen haben. Man braucht immer dieselbe Anzahl an Gleichungen wie man Unbekannte (Variablen) hat, um diese eindeutig lösen zu können. Man formt nun die Nebenbedingung (obere Gleichung) so um, dass eine Variable freigestellt wird, und setzt dies in die Hauptbedingung ein (Fläche), die es zu optimieren gilt.
Freistellen: 200 - 2a = b
Einsetzen: A = a ∙ (200 - 2a)
Ausmultiplizieren: A = 200a - 2a^2
Nun haben wir eine Funktion für die Fläche A in Abhängigkeit der Seitenlänge a. Die Fläche ist genau dann maximal, wenn ein Hochpunkt vorliegt. Dafür bildest du die 1. Ableitung und suchst nach Nullstellen als notwendiges Kriterium für einen Extrempunkt.
f(a)=200a-〖2a〗^2 und f^' (a)=200-4a 0=200-4a_E → a_E=50
Die Lösung ist a=50 m. Normalerweise überprüfen wir den Extrempunkt noch mit der zweiten Ableitung. Wer sich allerdings die Funktionsgleichung genauer anschaut, stellt fest, dass es sich um eine nach unten geöffnete Parabel handelt (Minus vor dem a2), sodass nur ein Hochpunkt in Frage kommt.
Des Weiteren ist b=100 m und für die maximale Fläche ergibt sich A=5000 m^2 .
Trainer: „Der Ablauf ist immer sehr ähnlich: Gleichungen aufstellen, umformen und Extrempunkte bestimmen. Wichtig ist jedoch, mit Hilfe einer Skizze das Problem richtig zu verstehen.“
1. Gegeben ist eine nach unten geöffnete Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=-0,5x^2+2 . In dem Bereich zwischen x-Achse und Parabel soll wie in der Abbildung ein gleichschenkliges Dreieck gebildet werden. Welche Koordinaten hat der Punkt B des größtmöglichen Dreiecks?
2. Ein Konservenhersteller möchte zylinderförmige Dosen mit 500 ml Volumen bei minimaler Oberfläche herstellen, um Material zu sparen. Wie lautet das optimale Verhältnis von Radius zu Höhe der Dose? Gilt dieses Verhältnis auch für Dosen mit anderen Volumina?
3. Zu welchem Punkt der Funktion f(x)=x^2 hat P (0|4) den geringsten Abstand?


Facebook:   / strandmathe  
Instagram:   / strandmathe  
Twitter:   / strandmathe