#math

#mathematics #mathstricks #mathematical #math #maths #upboard #mathsncert #यूपीबोर्डगणितकक्षा12 #mathmath #class12maths #class12 #class12maths #class12mathsinhindi #class12 #class12th #class12mathsinhindi #upboardclass12thmaths #upboardexam #upboard #top5ms #top-5ms #master-sahab #sel #shauryaeducationlab #shauraya #education #हिंदीquotes #vector #vector #गणित #सदिश #कक्षा12गणित #कक्षा-12गणित
#math #vectors #LECTURE_NO_01 #sadish #Vectors_and_product_of_vectors #सदिश_एवं_सदिशों_का_गुणन #exam
अदिश और सदिश राशियाँ (Scalar and Vector Quantities)

प्रदर्शि

भौतिक राशियों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है-

1. वे राशियाँ, जिनमें केवल परिमाण होता है; जैसे- द्रव्यमान, समय, तापमान इत्यादि। ऐसी राशियों को अदिश (Scalar) राशि कहते हैं।

सनि

2. वे राशियाँ जिनमें परिमाण के साथ दिशा भी होती है; जैसे-विस्थापन, वेग, त्वरण, संवेग इत्यादि। ऐसी राशियों को सदिश (Vector) राशि कहते हैं।

इका

अदिश राशियों को साधारण गणित की भाँति जोड़ा, घटाया, गुणा या भाग किया जा सकता है, जबकि सदिश राशियों को नहीं

सदिशों के प्रकार (Types of Vectors)

1. एकांक सदिश (Unit Vector) - जिस सदिश का मापांक इकाई अर्थात् एक हो, उसे एकांक सदिश या मात्रक सदिश कहते हैं। किसी सदिश की दिशा में एकांक सदिश को उसके ऊपर '^' लगाकर प्रदर्शित करते हैं। जैसे- वे की दिशा में एकांक सदिश को वे द्वारा व्यक्त करते हैं।

किसी सदिश को उसके मापांक से भाग देने पर उसके संगत एकांक सदिश प्राप्त होता है। जैसे-

4

8

a = | a |= 1

--

2. शून्य सदिश (Zero or Null Vector) - जिस सदिश का मापांक शून्य होता है उसे शून्य सदिश कहते हैं। इसमें प्रारम्भिक और अन्तिम बिन्दु सम्पाती होते हैं और दिशा अनिर्धारित या स्वेच्छ होती है। इसे या AA से प्रदर्शित करते हैं।

=

3. समान सदिश (Equal Vectors) - यदि दो सदिश परिमाण में बराबर और समान दिशा में हों, तो उन्हें समान सदिश कहते हैं। यह आवश्यक नहीं है कि समान सदिशों का प्रारम्भिक बिन्दु एक ही हो।

यदि AB और CD दो समान्तर रेखायें हैं और AB = CD, तो AB = CD यदि वे और दो समान सदिश हैं, तो a=b ← ←

4. समदिश सदिश (Like Vectors) - यदि दो सदिश एक ही दिशा में होते हैं, तो उन्हें समदिश सदिश कहते हैं। जैसे- सदिश वे और समदिश सदिश हैं।
5. विपरीत दिश सदिश (Unlike Vectors) - यदि दो सदिश विपरीत दिशा में होते हैं, तो उन्हें विपरीत दिश सदिश कहते हैं। जैसे- वे और विपरीत दिश सदिश हैं।

a

b

6. ऋणात्मक सदिश (Negative Vector) - जिस सदिश का परिमाण एक दिये हुए सदिश के परिमाण के बराबर हो परन्तु दिशा विपरीत हो, उसे उस दिये गये सदिश का ऋणात्मक सदिश कहते हैं।

a a

C

B

D

A

← → चित्र में, AB = a है। CD, AB के समान्तर तथा CD = AB है, ← तो DC = -→ a

7. समरेखीय सदिश (Collinear Vectors) - यदि सदिशों की क्रिया रेखायें एक ही हैं या एक ही रेखा के समान्तर हैं, तो उन्हें समरेखीय सदिश कहते हैं।

समरेखीय सदिशों के परिमाण भिन्न-भिन्न हो सकते हैं। यदि वे और दो समरेखीय या समान्तर सदिश हैं, तो एक अदिश m इस प्रकार होगा कि a = mb

#प्रश्न- उत्तर से 30° पूर्व में 40 किमी/घण्टा वेग को आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(2) △ABC की भुजा AB और AC के मध्य-बिन्दु क्रमशः D और E हैं। सिद्ध कीजिए कि-
BE + DC = 3/2 BC

(3) △ABC में भुजा BC का मध्य-बिन्दु D है। उदाहरण 5 सिद्ध कीजिए कि- AB+ AC = 2 AD

(4) यदि बिन्दु A का स्थिति सदिश (a + 2b) ← ← और B का स्थिति सदिश (2a + b) है तथा बिन्दु P, रेखा AB को 3 : 5 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो P का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

(5) यदि मूलबिन्दु O के सापेक्ष दो बिन्दुओं A और
B के स्थिति सदिश क्रमश: 2i4j+k और 3i+2j-k ← हैं, तो AB ज्ञात कीजिए।

(6) यदि a=2i+j+3k,b=i-j+2k ← और c = 3 i + j-2k, तो (2a - b+3c) का मान ज्ञात कीजिए।

(7)