构造实数 戴德金分割 第一次数学危机 单变量微积分 第011课

今天我们学习怎么用著名的戴德金分割，从有理数出发来构造实数，因为正是实数的严格构造才使得“第一次数学危机”得到了解决。原证明参考 Rudin's Principles of Mathematical Analysis (3rd) 第1章的附录。实数的构造过程可以用实数存在定理来描述。定理的证明过程简述如下：先定义戴德金分割（也就是实数），并定义分割的运算和比较，然后检查分割是否为有序域。其中有一些分割是可以和有理数一一对应，这种对应在数学上叫“同构”，也就是说有理数是实数的一部分。

公众号（正文）：
（别忘了放视频！）
单变量微积分 第011课 实数存在定理 戴德金分割

今天我们要学的这个定理很了不起！因为它解决了所谓的“第一次数学危机”。

实数的存在性一直是个难题。一直到100多年前，这个问题才被戴德金、柯西、康托等数学家解决掉。我们今天要讲其中比较好理解的一个解决方法，叫做“戴德金分割”。

通过戴德金分割，我们将严格证明“实数存在定理”。注意，我们这里是严格的证明，虽然证明过程省略了一些繁琐的细节。如果大家想看科普视频的话，可以去看李永乐老师讲的。

首先，我们来看看定理怎么说的，然后再证明。简单来说，这个定理说的是存在一个有序域（第009课，第010课），叫做实数R，它有上确界性质（第005课），也可以说是连续性或者完备性。而有理数Q是实数的一个子集。

我们先来直观感受一下，为什么我们需要有上确界性质的实数。在几何上，把有理数对应成点排列成一个轴。那么根号2将不对应其中一个点。也就是说，在根号2出可以把轴切为两段而不会切到轴上。再来看个尺规作图的例子。如果要取一个线段的中点，那么在两个端点做圆弧相交可得中垂线。那么同上面根号2不在轴上的道理一样，如果没有实数的连续性为前提，作图时交点可能都不存在。

定理证明一共分为9步（详细过程在视频中）：

第1步：我们要定义一个分割，或者叫分划，而一个分割就是一个实数。这个想法是戴德金提出来的，当然就叫戴德金分割啦。

第2步：我们来证明实数是有序集。

第3步：我们来证明分割有上确界性质。

第4步：我们来看看分割满足域的加法公理。这就要先定义实数0和加法相反数，然后再逐条验证实数是满足域的加法公理的。

第5步：我们来看实数是否满足有序域的第一条公理。

第6步：我们来看一下实数是否满足域的乘法公理。因为乘法涉及到负负得正这类的符号问题，所以我们得根据不同符号分别讨论。我们先看两个正实数相乘的情况，类似第4步的方法可以验证正实数满足域的乘法公理和分配律。接着我们可以看到实数满足有序域的第二条公理。

第7步：我们再定义一下包含0和负数的乘法。比较容易检验，这样的定义能使得实数很好地满足域的乘法公理和分配律，也就是说实数是个有序域。

第8步：我们来证明有理数和一些分割（有理分割）的等价性。

第9步：最后一步，有了任意有理数和某个有理分割的等价性（标准的叫法是同构），我们就说有理数是实数的一部分。从而完成了全部证明。

经过上面的步骤，完美的实数就这样从有理数中构造出来了。实数不仅是有序域，而且有上确界性质，也就是说，实数是完备的，或者说是连续的。这样才保证了后续的极限，求导，积分等等一些列微积分中的重要概念都可以很好的被严格定义。

最后，谢谢一直以来鼓励和支持冉哥儿的朋友们！