13 (x^2+2y^2)dx/dy=xy Ecuación homogénea forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Zill. Sustitución y=ux, x=vy.

Se resuelve la ecuación diferencial ordinaria (x^2+2y^2)dx/dy=xy que corresponde a una ecuación homogénea de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, se utiliza la siguiente idea de solución:

1.Identificar que la ecuación está en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.
2. Identificar M(x,y), N(x,y).
3. Verificar que M(x,y), N(x,y) son funciones homogéneas del mismo orden n, es decir que cumplen M(tx,ty)=t^n*M(x,y) y N(tx,ty)=t^n*N(x,y).
4. Utilizar alguna de las dos sustituciones:
y=ux, donde dy=udx
x=vy, donde dx=vdy+ydv
5. Utilizar que M y N son homegéneas del mismo orden para reducir la ecuación inicial a una ecuación de variables separables.
6. Resolver la ecuación de variables separables.
7. Recuperar las variables x,y en la solución de la ecuación diferencial.


En Geogebra se puede obtener la gráfica de la solución usando el comando ResuelveEDO(f'(x,y), punto en f), se puede construir el campo de pendientes usando el comando CampoDirecciones(f(x,y), n, a, Min X, MinY, Máx X, Máx Y)

Es un vídeo para comprender el método de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas, también sirve para recordar los métodos de integración y para aprender a usar Geogebra para visualizar los aspectos cualitativos de la solución de una ecuación diferencial ordinaria.
Es un ejercicio tomado del libro de Dennis Zill de ecuaciones diferenciales.

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